IDZ Ryabushko 4.1 Opzione 5

N. 1. Di seguito sono riportate le equazioni canoniche per l'ellisse, l'iperbole e la parabola:

• ?lipse: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro, a e b sono rispettivamente il semiasse maggiore e quello minore, a > b.
• Iperbole: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro, a e b sono la distanza dal centro ai vertici e la distanza rispettivamente dal centro agli asintoti.
• Parabola: y = a(x - x₀)² + y₀, dove (x₀, y₀) sono le coordinate del vertice, a è il parametro della parabola.

N. 2. L'equazione di una circonferenza con centro nel punto A(x₀, y₀) e raggio r ha la forma: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Per scrivere l'equazione di una circonferenza passante per i punti A e B con centro nel punto A, dobbiamo prima trovare il raggio. Per fare ciò, puoi trovare la distanza tra i punti A e B, quindi dividerla a metà, poiché il centro del cerchio si trova al centro del segmento AB. Quindi, il raggio r = AB / 2. Sostituisci questo valore nell'equazione del cerchio e ottieni: (x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)².

Numero 3. La condizione specificata nel problema significa che il punto M si trova sulla bisettrice perpendicolare del segmento AB. Per creare un'equazione per questa bisettrice, dobbiamo trovare le sue coordinate. Questo può essere fatto utilizzando la formula per la distanza tra un punto e una linea. La distanza da un punto M a una linea AB può essere trovata utilizzando la formula per la distanza da un punto a una linea in forma di coordinate. Avremo quindi due equazioni corrispondenti alle distanze dal punto M ai punti A e B, e potremo scrivere la loro somma e porla uguale a 28. Questo ci darà l'equazione della bisettrice, che sarà l'equazione della retta noi stiamo cercando.

N. 4. Per tracciare una curva in coordinate polari, è necessario tracciarla utilizzando i valori dell'angolo e del raggio. L'equazione ρ = 2 / (1 + cosφ) descrive una curva simmetrica rispetto all'asse x e passante per l'origine. Per costruire un grafico, puoi tracciare diversi punti utilizzando diversi valori dell'angolo φ e del raggio ρ, quindi collegarli con una linea. Puoi anche utilizzare un programma di creazione di grafici.

N. 5. La curva definita dalle equazioni parametriche x = f(t) e y = g(t) è descritta da punti (x, y), che dipendono dal parametro t. Per costruire una curva, è necessario tracciarne il grafico utilizzando i valori del parametro t compresi tra 0 e 2π. Per fare ciò, puoi tracciare diversi punti utilizzando diversi valori t e quindi collegarli con una linea. Ad esempio, se abbiamo le equazioni parametriche x = cos(t) ey = sin(t), allora possiamo rappresentare graficamente un cerchio con raggio 1 e centro nell'origine. Per fare ciò, puoi selezionare diversi valori di t, ad esempio t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π, ecc., calcolare i valori corrispondenti di xey e tracciare punti con queste coordinate sul piano delle coordinate. Questi punti possono quindi essere collegati con una linea per creare un grafico circolare.

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a) L’equazione canonica di un’ellisse ha la forma: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro, aeb sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore, a > b.

Per una data ellisse, è noto che 2a = 22, che significa a = 11. È nota anche l'eccentricità ε = √57/11. Il semiasse minore b può essere trovato utilizzando la formula b = a * √(1 - ε²), cioè b = 2√2.

Le coordinate dei fuochi possono essere trovate utilizzando la formula c = a * ε. Ciò significa che c = √57. Le coordinate focali saranno (x₀ + c, y₀) e (x₀ - c, y₀), dove x₀ e y₀ sono le coordinate del centro dell'ellisse.

b) L'equazione canonica di un'iperbole ha la forma: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro, a e b sono rispettivamente la distanza dal centro ai vertici e la distanza dal centro agli asintoti.

Per una data iperbole, è noto che 2c - lunghezza focale = 10√13, cioè c = 5√13. È anche noto che l'equazione degli asintoti dell'iperbole ha la forma y = ± kx, dove k = 2/3.

La distanza dal centro ai vertici a si trova utilizzando la formula a² = c² + b². Ciò significa a = √(c² + b²) = √(194/3).

c) L'equazione canonica di una parabola ha la forma: y = a(x - x₀)² + y₀, dove (x₀, y₀) sono le coordinate del vertice, a è il parametro della parabola.

Per una data parabola sono noti l'asse di simmetria Ox e la coordinata del vertice A(27;9), il che significa che l'equazione sarà: y = a(x - 27)² + 9.

L'equazione di una circonferenza con centro nel punto A(x₀, y₀) e raggio r ha la forma: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

I fuochi dell'ellisse 9x² + 25y² = 1 hanno coordinate (0, ±2/5). Il centro del cerchio passa per il centro del segmento compreso tra A(0,6) e (0,-2/5), cioè il punto (0, 59/50). Il raggio del cerchio è uguale alla metà della distanza tra A e (0,59/50), cioè r = √(6,25 + (59/50)² - 6) / 2.

Pertanto, l'equazione di un cerchio sarà: (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6,25 + (59/50)² - 6)) / 2)².

La condizione significa che il punto M si trova sulla bisettrice perpendicolare del segmento AB. La distanza dal punto M alla linea AB può essere trovata utilizzando la formula per la distanza da un punto a una linea nel sistema di coordinate:

d = |(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂| / √((y₂ - y₁)² + (x₁ - x₂)²),

dove (x₁, y₁) e (x₂, y₂) sono le coordinate dei punti A e B, rispettivamente.

Conoscendo le coordinate dei punti A(4, 2) e B(-2, 6), puoi trovare l'equazione della retta AB: y = -x/2 + 5.

Poiché il punto M si trova sulla bisettrice perpendicolare del segmento AB, l'angolo AMB è uguale a 90 gradi, il che significa che il punto M si trova sulla bisettrice perpendicolare del segmento AB. Ciò significa che le coordinate del punto M saranno pari a:

x = (x₁ + x₂) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y₁ + y₂) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

Pertanto, le coordinate del punto M sono (1, 4).

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IDZ Ryabushko 4.1 Opzione 5 è un insieme di problemi di matematica, che include compiti sulla composizione di equazioni canoniche ed equazioni di linee, costruzione di curve in sistemi di coordinate polari e parametriche, nonché un compito sulla ricerca dell'equazione di un cerchio.

N. 1. Questo problema richiede la costruzione di equazioni canoniche per un'ellisse, un'iperbole e una parabola, definite in vari modi. Per fare ciò, è necessario utilizzare formule e dati noti forniti nella dichiarazione del problema.

N. 2. In questo problema, devi scrivere l'equazione di una circonferenza con un centro specificato e passante per punti specificati. Per fare ciò, puoi utilizzare la formula standard per l'equazione del cerchio, che collega le coordinate del centro e del raggio del cerchio con le coordinate di un punto arbitrario sul cerchio.

Numero 3. In questo problema, devi creare un'equazione per una linea che soddisfi determinate condizioni. Per fare ciò, puoi utilizzare formule ben note per la distanza da un punto a una linea e applicare i metodi dell'algebra e della geometria per trovare l'equazione della linea.

N. 4. In questo problema è necessario costruire una curva definita in un sistema di coordinate polari. Per fare ciò, è possibile utilizzare formule note per convertire le coordinate da un sistema di coordinate polari a un sistema di coordinate cartesiane e costruire un grafico di una funzione specificata in coordinate cartesiane.

N. 5. In questo problema devi costruire una curva data da equazioni parametriche. Per fare ciò, è possibile utilizzare i metodi della geometria analitica e costruire un grafico di una funzione specificata in forma parametrica.

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