Soluzione al problema 6.3.12 dalla collezione di Kepe O.E.

Per risolvere il problema è necessario determinare l'altezza H del secondo cilindro in modo che l'asse di simmetria di un corpo costituito da due cilindri e sospeso nel punto A diventi orizzontale. Il primo cilindro ha un'altezza H1 = 0,5 m e un raggio R = 3r.

Soluzione: poiché il corpo è sospeso nel punto A, il centro di massa del corpo deve trovarsi esattamente sotto il punto A. Dalla simmetria della struttura ne consegue che il centro di massa si trova al centro tra i cilindri. Pertanto, l'altezza H2 del secondo cilindro deve essere uguale all'altezza del primo cilindro H1, cioè H2 = 0,5 m.

Ora dobbiamo trovare il raggio r del secondo cilindro. Per fare ciò utilizziamo la condizione di equilibrio del corpo: la somma dei momenti di forza relativi al punto A deve essere uguale a zero. Un corpo sospeso è in uno stato di equilibrio; pertanto, il momento di gravità del corpo rispetto al punto di sospensione deve essere uguale al momento della forza di tensione del filo.

Il momento di gravità di un corpo può essere espresso come il prodotto della forza di gravità per la distanza dal punto di sospensione al centro di massa del corpo. La distanza dal punto di sospensione al centro di massa del corpo è pari all'altezza H/2, dove H è l'altezza del secondo cilindro. Il momento di tensione del filo è zero, poiché il filo è teso verticalmente e non crea momenti.

Pertanto, l'equazione di equilibrio ha la forma: mg * (H/2) = Fн * R, dove m è la massa del corpo, g è l'accelerazione della caduta libera, Fн è la forza di tensione del filo, R è la raggio dei cilindri.

Esprimendo il raggio R dall'equazione e sostituendo i valori noti, otteniamo: R = (mg * H) / (2 * Fн * 3), dove il coefficiente numerico 3 deriva dalla condizione del problema che il raggio del primo cilindro è tre volte più grande del raggio del secondo cilindro.

Quindi, l'altezza H2 del secondo cilindro dovrebbe essere uguale a 0,5 m, e il raggio r del secondo cilindro può essere trovato con la formula: r = R / 3 = (mg * H) / (6 * Fn). Risposta: H = 1,5 m.

Soluzione al problema 6.3.12 dalla collezione di Kepe O.?.

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Prezzo: 99 rubli.

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Soluzione al problema 6.3.12 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare l'altezza H di un cilindro omogeneo alla quale l'asse di simmetria di un corpo costituito da due cilindri e sospeso nel punto A sarà orizzontale. L'altezza di uno dei cilindri è H1 = 0,5 m e il raggio R è 3r. Per risolvere il problema è necessario utilizzare la legge di conservazione del momento angolare.

Dalla legge di conservazione del momento angolare segue che il momento angolare di un sistema di corpi rispetto al punto di sospensione A deve essere costante. Possiamo quindi scrivere l’equazione:

I*ω = m*g*h

dove I è il momento d'inerzia del sistema, ω è la velocità angolare di rotazione del sistema, m è la massa del sistema, g è l'accelerazione di gravità, h è l'altezza desiderata del cilindro.

Il momento d'inerzia di un sistema di cilindri può essere espresso come la somma dei momenti d'inerzia dei singoli cilindri, ovvero:

I = I1 + I2 = (m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2

dove m1 e m2 sono le masse dei cilindri, R è il raggio dei cilindri.

La massa del sistema può essere espressa anche in termini di massa dei singoli cilindri:

m = m1 + m2

La velocità angolare di rotazione del sistema può essere espressa in termini di tempo durante il quale il sistema ruota di un angolo α fino alla posizione orizzontale e di accelerazione angolare:

ω = α/t

L'angolo α è determinato da considerazioni geometriche ed è pari a 60 gradi, poiché i cilindri hanno forma di tronco di cono e l'angolo tra le basi è di 60 gradi.

L'accelerazione angolare può essere espressa in termini di accelerazione di gravità e distanza dal punto di sospensione al centro di massa del sistema:

α = g*h/L

dove L è la distanza dal punto di sospensione al centro di massa del sistema.

Sostituendo tutte le espressioni nell'equazione della legge di conservazione del momento angolare e risolvendola per h, otteniamo:

h = (m1 + m2) * g * L * t / [(m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2]

dove L = (2 * H1 + H) / 3 è la distanza dal punto di sospensione al centro di massa del sistema e t è il tempo durante il quale il sistema ruoterà di un angolo di 60 gradi fino alla posizione orizzontale:

t = π / 6 * √(I / (m * g * L))

Sostituendo i valori numerici e risolvendo le equazioni, otteniamo la risposta: H = 1,5 metri.

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