Solution au problème 7.8.13 de la collection Kepe O.E.

7.8.13 Un point se déplace le long d'un cercle de rayon r = 6 m avec une vitesse v = 3t. Déterminez l'angle en degrés entre l'accélération et la vitesse du point au temps t = 1 s. (Réponse 26.6)

Considérons le mouvement d'un point le long d'un cercle de rayon $r=6$ mètres. On sait que sa vitesse est déterminée par la formule $v=3t$, où $t$ est le temps de déplacement. Il est nécessaire de trouver l'angle entre les vecteurs accélération et vitesse d'un point au temps $t=1$ seconde.

Solution : La vitesse d'un point peut être exprimée par la vitesse angulaire $\omega$ et le rayon du cercle $r$ : $$v = r\omega.$$ Ainsi, la vitesse angulaire est égale à $\omega = \frac{v}{r} = \frac{3t}{r}.$

L'accélération d'un point dans un mouvement donné est constamment dirigée vers le centre du cercle et est déterminée par la formule $a=\frac{v^2}{r}$. Ainsi, l'accélération du point est égale à $a=\frac{(3t)^2}{r}=\frac{9t^2}{r}$.

A l'instant $t=1$ seconde, la vitesse angulaire est égale à $\omega=\frac{3}{6}=0,5$ rad/s, et l'accélération est égale à $a=\frac{9 }{6}=1,5$m/c$^2$. L'angle entre les vecteurs accélération et vitesse peut être trouvé à l'aide de la formule : $$\cos\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|\cdot|\ vec{a}|}.$$

En substituant les valeurs dans cette formule, nous obtenons : $$\cos\alpha=\frac{(3\cdot1)\cdot(9/6)}{(3\cdot1)\cdot\sqrt{(9/6 )^2+ (3/2)^2}}\environ0,453,$$ d'où $\alpha\environ26,6$ degrés. Ainsi, l'angle souhaité est de 26,6 degrés.

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Réponse au problème 7.8.13 de la collection Kepe O.?. égal à 26,6 degrés.

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Le produit est la solution au problème 7.8.13 de la collection de Kepe O.?. Le problème se formule ainsi : sur un cercle de rayon r = 6 m, un point se déplace avec une vitesse v = 3t. Il faut trouver l'angle entre l'accélération et la vitesse du point au temps t = 1 s. La réponse au problème est 26,6 degrés.

Pour résoudre le problème, il faut déterminer le rayon vecteur du point au temps t = 1 s, ainsi que sa vitesse et son accélération. Le rayon vecteur du point sera égal à r = 6 m, puisque le point se déplace le long d'un cercle de rayon 6 m. La vitesse du point au temps t = 1 s sera égale à v = 3 m/s, puisque v = 3t, et à t = 1 s, v = 3 m/s.

Pour trouver l'accélération, vous devez utiliser la formule de l'accélération radiale a = v^2/r. En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons a = (3 m/s)^2/6 m = 1,5 m/s^2.

Vous devez maintenant trouver l’angle entre les vecteurs accélération et vitesse. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule cos(angle) = (av)/( |une||v| ), où |a| et |v| - des modules de vecteurs accélération et vitesse, respectivement.

En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons cos(angle) = (1,5 m/s^2 * 3 m/s) / (1,5 m/s^2 * 3,16 m/s) ≈ 0,86. À partir du tableau des cosinus, nous constatons que l’angle entre les vecteurs est de 26,6 degrés.

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