Solution au problème 17.3.28 de la collection Kepe O.E.

17.3.28. Deux curseurs (1 et 3) sont situés sur un anneau lisse de rayon r dans le plan horizontal. Ils glissent uniformément avec une accélération tangentielle τ = 4 m/s2. Les curseurs sont reliés par une tige homogène 2 de masse m = 2 kg. On néglige les masses des curseurs. Il faut déterminer la force F (réponse 5.33).

Répondre:

Nous pouvons utiliser l'équation du mouvement pour trouver la force F. La somme des forces agissant sur le système est égale à la masse multipliée par l'accélération du centre de masse du système :

ΣF = ma

Puisque les curseurs glissent avec une accélération uniforme, nous pouvons exprimer l’accélération en termes d’accélération angulaire α :

une = rα

Pour un mouvement uniformément accéléré, l’accélération angulaire α est constante :

α = const

On peut alors écrire :

ΣF = m(rα)

ΣF = mr(at/r)

ΣF = tapis

Remplacement des données :

ΣF = 2 kg × 4 m/s2

ΣF = 8 Н

Cette force agit sur le système en direction du centre de l'anneau. On recherche cependant la force F agissant dans la tige reliant les curseurs. Cette force F est dirigée le long de la tige et crée un moment de force conduisant à la rotation du système. Nous pouvons trouver cette force en utilisant le moment d'inertie I du système et l'accélération angulaire α :

ΣM = Iα

Pour une tige homogène de masse m et de longueur l, tournant autour d'une des extrémités, le moment d'inertie est égal à :

Je = (1/3)ml^2

Le moment de force F par rapport à l'axe de rotation (le centre de l'anneau) est égal à :

MF = Fl/2

On peut alors écrire :

ΣM = (1/3)ml^2α

MF = (1/2)Fl

ΣM = MF

(1/3)ml^2α = (1/2)Fl

F = (2/3)tapis

F = (2/3)(2 kg)(4 m/s2)

F = 5,33 N

Réponse : F = 5,33 N.

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