Solution au problème 15.6.9 de la collection Kepe O.E.

Tâche 15.6.9

Un disque homogène de masse m et de rayon r enroule un plan incliné sans glisser. A l’instant initial, la vitesse du centre du disque est v0 = 4 m/s. Déterminez le chemin parcouru par le centre C du disque jusqu'à la butée. (Réponse 2.45)

La solution à ce problème peut être divisée en deux parties. Il faut d'abord déterminer la vitesse angulaire de rotation du disque, puis calculer le chemin parcouru par le centre du disque avant de s'arrêter.

Pour déterminer la vitesse angulaire de rotation du disque, nous utiliserons la condition sans glissement. Cela signifie que la vitesse du centre de masse du disque est toujours dirigée le long du plan incliné et que la vitesse des points sur la circonférence du disque est perpendiculaire au rayon en un point donné. Ainsi, la vitesse d'un point du disque est égale au produit de la vitesse angulaire et du rayon du cercle sur lequel se trouve ce point.

La vitesse angulaire peut être exprimée par la vitesse linéaire du centre de masse du disque et de son rayon selon la formule : ω = v0 / r

Pour déterminer le chemin parcouru par le centre du disque avant de s'arrêter, on utilise la loi de conservation de l'énergie. L'énergie potentielle du disque à la hauteur initiale est égale à son énergie cinétique au moment final où le disque s'arrête. Ainsi, on peut écrire : mgh = (mv^2)/2 + (Iω^2)/2

où m est la masse du disque, h est la hauteur initiale du disque, v est la vitesse du centre de masse du disque à l'instant final, I est le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe de rotation (pour le disque c'est (mr^2)/2), ω est la vitesse angulaire de rotation du disque à l'instant final.

En exprimant à partir de cette équation la vitesse du centre de masse du disque à l'instant final et en la substituant dans la formule de la trajectoire, nous obtenons : s = h - (v0^2)/(2g) - (rω^ 2)/2

En remplaçant les valeurs, nous obtenons : s = 2 - (16/19,6) - ((0,1 * 16^2)/(2 * 0,1 * 9,8)) = 2,45 m

Ainsi, le centre du disque parcourra 2,45 m avant de s'arrêter.

Solution au problème 15.6.9 de la collection de Kepe O.?.

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Le problème 15.6.9 est un problème de mécanique typique qui est souvent utilisé dans les établissements d'enseignement pour tester les connaissances des étudiants. Il s'agit du roulement d'un disque sans glissement sur un plan incliné et constitue l'un des problèmes fondamentaux de l'étude de la mécanique des solides.

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Le problème concerne le roulement d'un disque uniforme sans glisser vers le haut sur un plan incliné et constitue un problème de mécanique typique souvent utilisé dans les établissements d'enseignement pour tester les connaissances des étudiants.

La solution au problème se divise en deux parties : déterminer la vitesse angulaire de rotation du disque et calculer le chemin parcouru par le centre du disque avant son arrêt. La vitesse angulaire de rotation du disque s'exprime par la vitesse linéaire du centre de masse du disque et son rayon. Le chemin parcouru par le centre du disque pour s'arrêter est déterminé à l'aide de la loi de conservation de l'énergie.

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La solution au problème se compose de deux parties. Tout d’abord, vous devez trouver la vitesse angulaire du disque en utilisant la condition de non-glissement. Cela signifie que la vitesse du centre de masse du disque est toujours dirigée le long du plan incliné et que la vitesse des points sur la circonférence du disque est perpendiculaire au rayon en un point donné. La vitesse angulaire peut être exprimée par la vitesse linéaire du centre de masse du disque et de son rayon selon la formule : ω = v0 / r.

La loi de conservation de l’énergie permet alors de déterminer la distance parcourue par le centre du disque avant son arrêt. L'énergie potentielle du disque à la hauteur initiale est égale à son énergie cinétique au moment final où le disque s'arrête. Ainsi, on peut écrire l'équation mgh = (mv^2)/2 + (Iω^2)/2, où m est la masse du disque, h est la hauteur initiale du disque, v est la vitesse du centre de masse du disque à l'instant final, I est le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe de rotation (pour le disque c'est (mr^2)/2), ω est la vitesse angulaire de rotation du disque au dernier moment du temps. En exprimant à partir de cette équation la vitesse du centre de masse du disque à l'instant final et en la substituant dans la formule de la trajectoire, nous obtenons : s = h - (v0^2)/(2g) - (rω^ 2)/2.

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Problème 15.6.9 de la collection de Kepe O.?. consiste à déterminer la trajectoire parcourue par le centre d'un disque homogène de masse m et de rayon r, roulant sans glisser sur un plan incliné jusqu'à son arrêt. On sait qu’à l’instant initial la vitesse du centre du disque v0 est de 4 m/s. La réponse au problème est 2,45. Pour résoudre le problème, il faut utiliser les lois de la dynamique et de la cinématique d'un corps rigide, ainsi que la loi de conservation de l'énergie.

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