IDZ Ryabushko 4.1 Option 6

N°1 Etablir des équations canoniques pour les courbes :

a) ellipse : L'équation de l'ellipse a la forme suivante : (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, où (h,k) sont les coordonnées du centre de l'ellipse, a est la longueur du demi-axe majeur, b est la longueur du demi-axe mineur. Les foyers sont situés à une distance c = √(a²-b²) du centre, l'excentricité est ε = c/a.

b) hyperboles : L'équation d'une hyperbole a la forme suivante : (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, où (h,k) sont les coordonnées du centre de l'hyperbole, a est la distance du centre aux sommets de l'hyperbole, b est la distance du centre aux asymptotes. Les foyers sont situés à une distance c = √(a²+b²) du centre, l'excentricité est ε = c/a. Équations d'asymptotes : y = ±(b/a)(x-h) + k.

c) paraboles : L'équation d'une parabole a la forme suivante : y² = 2px, où (0,p) sont les coordonnées du sommet de la parabole, p est la distance focale, D est la directrice de la parabole, qui est situé à une distance p du sommet.

Pour résoudre des problèmes, il faut utiliser des données connues : les coordonnées des points A et B, les coordonnées du foyer F, la longueur du demi-grand axe a, la longueur du petit demi-axe b, l'excentricité ε, l'angle d'inclinaison de l'axe de symétrie de la parabole, la coordonnée du point M et la distance de celui-ci au point A et à la droite x =8, ainsi que l'angle φ dans le système de coordonnées polaires.

N° 2 L'équation d'un cercle passant par le point A(0;-3) et ayant un centre au point A peut s'écrire (x−a)²+(y−b)²=r². Si le centre du cercle est au point A, alors les coordonnées du centre sont (a,b). On sait également que le cercle passe par le point A, son équation s'écrira donc (x−a)²+(y−b+3)²=r². Reste à trouver le rayon r. Pour ce faire, vous pouvez utiliser les coordonnées du foyer gauche de l'hyperbole, qui a l'équation 3x²-4y²=12. Le foyer gauche est à une distance c=√(a²+b²) du centre de l'hyperbole, où a=√3/2, b=√2. A partir de l'équation c²=a²+b² nous trouvons c=√7/2. Alors la distance entre le centre de l'hyperbole et son sommet est a=√3/2. Évidemment, le foyer gauche est situé sur le segment entre les sommets de l'hyperbole, donc les coordonnées du foyer gauche peuvent être trouvées comme (a-c,0). En substituant ce point dans l'équation du cercle, on obtient (a-c)²+(b+3)²=r². Il reste maintenant à résoudre un système de deux équations à deux inconnues a et b pour trouver les coordonnées du centre du cercle et son rayon r.

N° 3 L'équation d'une droite dont chaque point M satisfait aux conditions données peut s'écrire comme l'équation d'un cercle de centre au point A(1;0) et de rayon r=1/5 à partir de la distance de pointez M vers la droite x=8. Ainsi, l'équation d'un cercle aura la forme (x-1)²+y²=(1/5d)², où d est la distance du point M à la droite x=8. La distance du point M au point A est 1, donc d=5/

N°1 Etablir des équations canoniques pour les courbes :

a) ellipse : L'équation de l'ellipse a la forme suivante : (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, où (h,k) sont les coordonnées du centre de l'ellipse, a est la longueur du demi-axe majeur, b est la longueur du demi-axe mineur. Les foyers sont situés à une distance c = √(a²-b²) du centre, l'excentricité est ε = c/a.

b) hyperboles : L'équation d'une hyperbole a la forme suivante : (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, où (h,k) sont les coordonnées du centre de l'hyperbole, a est la distance du centre aux sommets de l'hyperbole, b est la distance du centre aux asymptotes. Les foyers sont situés à une distance c = √(a²+b²) du centre, l'excentricité est ε = c/a. Équations d'asymptotes : y = ±(b/a)(x-h) + k.

c) paraboles : L'équation d'une parabole a la forme suivante : y² = 2px, où (0,p) sont les coordonnées du sommet de la parabole, p est la distance focale, D est la directrice de la parabole, qui est situé à une distance p du sommet.

Pour résoudre des problèmes, il faut utiliser des données connues : les coordonnées des points A et B, les coordonnées du foyer F, la longueur du demi-grand axe a, la longueur du petit demi-axe b, l'excentricité ε, l'angle d'inclinaison de l'axe de symétrie de la parabole, la coordonnée du point M et la distance de celui-ci au point A et à la droite x =8, ainsi que l'angle φ dans le système de coordonnées polaires.

N° 2 L'équation d'un cercle passant par le point A(0;-3) et ayant un centre au point A peut s'écrire (x−a)²+(y−b)²=r². Si le centre du cercle est au point A, alors les coordonnées du centre sont (a,b). On sait également que le cercle passe par le point A, son équation s'écrira donc (x−a)²+(y−b+3)²=r². Reste à trouver le rayon r. Pour ce faire, vous pouvez utiliser les coordonnées du foyer gauche de l'hyperbole, qui a l'équation 3x²-4y²=12. Le foyer gauche est à une distance c=√(a²+b²) du centre de l'hyperbole, où a=√3/2, b=√2. A partir de l'équation c²=a²+b² nous trouvons c=√7/2. Alors la distance entre le centre de l'hyperbole et son sommet est a=√3/2. Évidemment, le foyer gauche est situé sur le segment entre les sommets de l'hyperbole, donc les coordonnées du foyer gauche peuvent être trouvées comme (a-c,0). En substituant ce point dans l'équation du cercle, on obtient (a-c)²+(b+3)²=r². Il reste maintenant à résoudre un système de deux équations à deux inconnues a et b pour trouver les coordonnées du centre du cercle et son rayon r.

N° 3 L'équation d'une droite dont chaque point M satisfait aux conditions données peut s'écrire comme l'équation d'un cercle de centre au point A(1;0) et de rayon r=1/5 à partir de la distance de pointez M vers la droite x=8. Ainsi, l'équation d'un cercle aura la forme (x-1)²+y²=(1/5d)², où d est la distance du point M à la droite x=8. La distance du point M au point A est 1, donc d=5/6. En substituant cette valeur dans l'équation du cercle, nous obtenons (x-1)²+y²=1/36. Ainsi, l'équation de la droite souhaitée est x²+y²-2x=1/36.

N° 4 La courbe, définie dans le système de coordonnées polaires comme ρ=3(1+sinφ), représente un pétale de rose. Pour le construire dans un système de coordonnées cartésiennes, il est nécessaire de convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes. Les formules de conversion sont x=ρcosφ, y=ρsinφ. En leur substituant l'expression de ρ, nous obtenons x=3cosφ+3cos²φsinφ, y=3sinφ+3sin²φcosφ. Ainsi, l'équation de la courbe souhaitée a la forme x²+y²=3(3+2sinφ+sin²φ).

N°5 La courbe définie par les équations paramétriques x=cos(t), y=sin(t) est un cercle de rayon unité dont le centre est à l'origine. Pour tracer son graphique sur un plan, il faut tracer les valeurs des coordonnées x et y pour chaque valeur du paramètre t de 0 à 2π. La visualisation de la courbe sera un cercle passant par tous les points de coordonnées (cos(t),sin(t)).

IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 est un ensemble de problèmes de mathématiques, qui comprend des tâches de composition d'équations canoniques pour des courbes (ellipses, hyperboles et paraboles), de recherche de l'équation d'un cercle passant par un point donné et ayant un centre donné, ainsi que composer des lignes d'équation sous la forme d'une équation d'un cercle avec un centre et un rayon donnés. Pour résoudre des problèmes, il est nécessaire d'utiliser des données connues, telles que les coordonnées des points, les foyers, les longueurs des demi-axes et les distances, ainsi que les angles et coordonnées des points dans différents systèmes de coordonnées.

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IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 est une tâche qui comprend cinq problèmes différents provenant de différents domaines des mathématiques :

1. Créer une équation canonique pour une ellipse, une hyperbole et une parabole passant par des points donnés et ayant des paramètres donnés, tels que les demi-grands et petits axes, l'excentricité, les équations d'asymptotes et de directrices, la distance focale, etc.

2. Écrivez l'équation d'un cercle ayant un centre en un point donné A, passant par un autre point donné et satisfaisant la condition.

3. Écrivez l'équation d'une droite dont tous les points sont à une certaine distance d'un point donné et d'une certaine droite.

4. Construisez une courbe spécifiée dans un système de coordonnées polaires.

5. Construisez une courbe définie par des équations paramétriques pour des valeurs de paramètres de 0 à 2π.

Chaque problème nécessite l'application de connaissances et de compétences mathématiques spécifiques, telles que la géométrie analytique, la trigonométrie, l'algèbre et les équations différentielles. La résolution de chaque problème peut nécessiter différentes méthodes de résolution, en fonction de ses conditions.

IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 est une tâche éducative destinée aux écoliers, publiée par la maison d'édition "Ryabushko". Cette version de l'IDL est destinée aux élèves de 4e année et contient des tâches en mathématiques, en langue russe, en environnement et dans d'autres matières.

IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 est l'une des options pour les tâches publiées et peut différer des autres options par le nombre et la complexité des tâches. L’IDZ est généralement accompagné d’une note explicative destinée aux parents ou aux enseignants, qui les aide à comprendre les devoirs et à bien organiser le travail de l’élève.

Généralement, l'IDL est délivré sur des sujets étudiés au cours de l'année universitaire en cours et vise à consolider les connaissances et les compétences acquises au cours des cours. IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 peut être utilisé comme matériel supplémentaire pour le travail indépendant des étudiants à la maison ou comme test en classe.

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