Solution au problème 20.6.17 de la collection Kepe O.E.

20.6.17 Dans un problème de mécanique, vous devez trouver l'accélération généralisée x d'un système mécanique conservateur avec un degré de liberté au moment où x est égal à 2 m. Pour ce faire, il faut utiliser la formule du potentiel cinétique, qui pour un système donné prend la forme L = 4x² - x⁴ - 6x². Après avoir résolu le problème, nous obtenons la réponse : 7.

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Le problème nécessite de trouver l’accélération généralisée x d’un système mécanique conservateur avec un degré de liberté au moment où x est égal à 2 m. Pour résoudre, la formule du potentiel cinétique L est utilisée, qui pour un système donné prend la forme L = 4x² - x⁴ - 6x².

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Solution au problème 20.6.17 de la collection Kepe O.?. consiste à déterminer l'accélération généralisée x à l'instant où x = 2 mètres, pour un système mécanique conservateur à un degré de liberté, dans lequel le potentiel cinétique est donné par l'expression L = 4x^2 - x^4 - 6x ^2, où x est la coordonnée généralisée.

Pour résoudre le problème, il faut trouver l'équation de Lagrange du deuxième type, puis calculer les forces généralisées égales à la dérivée de l'équation de Lagrange par rapport à la coordonnée généralisée, et substituer la valeur de la coordonnée x = 2 mètres dans l’équation résultante. En conséquence, nous obtenons la valeur de l'accélération généralisée x à l'instant où x = 2 mètres, ce qui est égal à 7.

Ainsi, pour résoudre ce problème, vous devez suivre les étapes suivantes :

1. Trouvez l'équation de Lagrange du deuxième type, qui a la forme :

Lagrange = d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx,

où L est le potentiel cinétique du système, x_dot est la dérivée de la coordonnée généralisée par rapport au temps.

1. Calculez la dérivée du potentiel cinétique par rapport à la vitesse :

dL/dx_dot = 8x_dot - 4x_dot^3

1. Calculer la dérivée du potentiel cinétique par rapport à la coordonnée :

dL/dx = 8x - 4x^3 - 12x

1. Remplacez les valeurs obtenues dans l'équation de Lagrange du deuxième type :

Lagrange = d/dt(8x_dot - 4x_dot^3) - (8x - 4x^3 - 12x)

1. Calculer la dérivée temporelle de la dérivée de la vitesse généralisée :

d/dt(dL/dx_dot) = d^2x/dt^2(8 - 12x^2)

1. Remplacez les valeurs obtenues dans l'équation de Lagrange du deuxième type :

d^2x/dt^2(8 - 12x^2) - (8x - 4x^3 - 12x) = 0

1. Résolvez l'équation différentielle résultante en utilisant les conditions initiales spécifiées dans l'énoncé du problème.

2. Remplacez la valeur x = 2 mètres dans la solution résultante et calculez l'accélération généralisée x au moment où x = 2 mètres. La réponse devrait être 7.

Ainsi, la solution au problème 20.6.17 de la collection de Kepe O.?. consiste à trouver l'accélération généralisée x au moment où x = 2 mètres, pour un système mécanique conservateur à un degré de liberté, dont le potentiel cinétique est donné par l'expression L = 4x^2 - x^4 - 6x^2.

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