Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 6

N° 1.6. Étant donné quatre points A1(0;7;1); A2(2;–1;5); A3(1;6;3); A4(3; –9;8). Nécessaire:

a) créer une équation pour le plan A1A2A3 ;

b) établir une équation de la droite A1A2 ;

c) établir une équation de la droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ;

d) composer une équation pour la droite A3N, qui est parallèle à la droite A1A2 ;

e) créer une équation pour un plan qui passe par le point A4 et est perpendiculaire à la droite A1A2 ;

f) calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ;

g) calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

a) Pour compiler l'équation du plan A1A2A3, on trouve le produit vectoriel de deux vecteurs se trouvant dans ce plan :

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 a la forme :

14 $ x + 2 ans + 18z - 56 = 0 $

b) Pour compiler l'équation de la droite A1A2, nous utiliserons la forme paramétrique de l'équation de la droite :

$x = 0 + 2t = 2t$

$y = 7 - 8t$

$z = 1 + 4t$

d) Pour composer l'équation de la droite A3N parallèle à la droite A1A2, on utilise sa forme paramétrique :

$x = 1 + 2t$

$y = 6 - 7t$

$z = 3 + 2t$

e) Pour compiler l'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2, on trouve un vecteur perpendiculaire à cette droite :

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

Puisque le plan souhaité est perpendiculaire au vecteur $\overrightarrow{A_1A_2}$, son équation a la forme :

$2x - 8a + 4z + d = 0$

Pour déterminer le coefficient d, on substitue les coordonnées du point A4 dans l'équation :

$2\cdot3 - 8\cdot(-9) + 4\cdot8 + d = 0$

$d = -14$

Ainsi, l'équation du plan recherché a la forme :

$2x - 8 ans + 4z - 14 = 0 $

c) Pour compiler l'équation de la droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3, on trouve le vecteur qui se trouve dans ce plan :

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Puisque la droite souhaitée est perpendiculaire au vecteur $\overrightarrow{n}$, son vecteur directeur a la forme :

$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x_A - x_M \ y_A - y_M \ z_A - z_M\end{pmatrix}$

où le point M se situe sur la ligne A4M. Puisque la droite A4M est perpendiculaire au plan A1A2A3, le vecteur $\overrightarrow{AM}$ doit être parallèle au vecteur $\overrightarrow{n}$ :

$\overrightarrow{AM} = t \cdot \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Ainsi, l'équation de la droite A4M a la forme :

$x = 3 + 14t$

$y = -9 + 2t$

$z = 8 + 18t$

f) Pour calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3, il faut trouver le produit scalaire d'un vecteur parallèle à la droite A1A4 et d'un vecteur perpendiculaire au plan A1A2A3 :

$\overrightarrow{A_1A_4} = \begin{pmatrix}3 \ -16 \ 7\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{A_1A_4}| = \sqrt{3^2 + (-16)^2 + 7^2} = \sqrt{314}$

$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 18^2} = \sqrt{380}$

Puisque le sinus de l'angle entre vecteurs est défini comme le rapport du produit scalaire des vecteurs au produit de leurs modules, le sinus de cet angle est égal à :

$\sin{\alpha} = \frac{\overrightarrow{A_1A_4} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A_1A_4}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \frac{28}{\sqrt{314} \cdot \sqrt{380}} \environ 0,425$

g) Pour calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3, il faut trouver le produit scalaire d'un vecteur perpendiculaire au plan A1A2A3 et situé dans le plan Oxy, et d'un vecteur perpendiculaire au plan Oxy et se trouvant dans le plan A1A2A3 :

$\overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \ 2 \ 0\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{n_1}| = 1$

$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = 2\sqrt{17}$

Puisque le cosinus de l’angle entre les vecteurs est

"Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 6" est un produit numérique qui est une solution à un devoir individuel de mathématiques compilé par A.P. Ryabushko. La solution est réalisée avec l'option numéro 6 de la tâche 3.1 et est destinée à être utilisée par les étudiants et les étudiants qui étudient ce cours.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 6 est une tâche géométrique composée de plusieurs points.

N° 1.6. Étant donné quatre points dans un espace tridimensionnel, vous devez créer des équations pour le plan et les droites passant par ces points, ainsi que calculer le sinus et le cosinus des angles entre certains d'entre eux.

N° 2.6. Il est nécessaire de créer une équation pour un plan passant par deux points donnés et parallèle à l'axe de coordonnées sélectionné.

N° 3.6. Il est nécessaire de trouver la valeur du paramètre auquel les lignes données seront parallèles.

Si vous avez des questions, vous pouvez contacter le vendeur indiqué dans les informations sur le vendeur.

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