IDZ Ryabushko 4.2 Option 7

N°1. Il est nécessaire de construire des surfaces et de déterminer leur type pour les équations :

a) 4x2 + 6y2 – 24z2 = 96 ; b) y2 + 8z2 = 20x2.

Commençons par effectuer un certain nombre de transformations. Pour l'équation (a), divisez les deux côtés par 96 et obtenez :

(x^2) / 6 + (y^2) / 16 - (z^2) / 4 = 1

Ainsi, on obtient l'équation d'un ellipsoïde dont le centre est à l'origine.

Pour l’équation (b), il est également nécessaire d’effectuer un certain nombre de transformations. Divisez les deux côtés par 20 et obtenez :

(y^2) / 20 + (z^2) / 2 = (x^2)

Ainsi, on obtient l'équation d'un cylindre parabolique dont la base est une parabole dirigée le long de l'axe des x et dont la hauteur est 2√5.

N°2. Il est nécessaire d'écrire l'équation et de déterminer le type de surface obtenue en faisant tourner cette ligne autour de l'axe de coordonnées spécifié, et de dessiner l'image correspondante.

a) x^2 + 3z^2 = 9 ; Oz ;

Tout d’abord, déterminons le type de ligne donné par l’équation. Pour z = 0, nous obtenons x^2 = 9, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une ligne horizontale passant par les points (-3, 0, 0) et (3, 0, 0). À x = 0, nous obtenons 3z^2 = 9, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une ligne verticale passant par les points (0, 0, -3) et (0, 0, 3). Ainsi, la droite est une ellipse située dans le plan xz.

Pour obtenir une surface, il faut faire pivoter cette ellipse autour de l'axe Oz. La surface résultante est un ellipsoïde dont le centre est à l'origine, les axes coïncident avec les axes de coordonnées et les demi-axes sont égaux à 3 et √3.

b) x = 4 ; z = 6 ; Oh.

Tout d’abord, déterminons le type de ligne donné par l’équation. L'équation x = 4 définit un plan vertical parallèle à l'axe des y et passant par le point (4, 0, 0). L'équation z = 6 définit un plan horizontal parallèle au plan xz et passant par le point (0, 0, 6). Ainsi, la droite est un segment de droite passant par les points (4, 0, 6) et (4, 0, -6).

Pour obtenir une surface, il faut faire pivoter ce segment autour de l'axe Oy. La surface résultante est un cylindre dont la base est un cercle de rayon 6 et centré au point (4, 0, 0), et dont la hauteur est 12.

N ° 3. Il est nécessaire de construire un corps délimité par les surfaces spécifiées :

une) y = x ; y = 0 ; x = 1 ; ... ; z = 0.

Construisons d'abord les plans définis par les équations y = x et y = 0. Cette intersection de ces plans nous donne une droite passant par les points (0, 0, 0) et (1, 1, 0). On construit ensuite les plans x = 1 et z = 0, qui forment un rectangle de sommets (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) et (1, 0, 1) . Ainsi, on obtient un corps limité par les surfaces indiquées, qui est une pyramide à base triangulaire et de hauteur 1.

б) x^2 + y^2 + z^2 = 4 ; x^2 + y^2 = z^2 ; x ≥ 0 ; z ≥ 0.

Tout d'abord, construisons les surfaces données par les équations x^2 + y^2 + z^2 = 4 et x^2 + y^2 = z^2. L'équation x^2 + y^2 + z^2 = 4 décrit une sphère de rayon 2, et l'équation x^2 + y^2 = z^2 décrit un cône avec son sommet à l'origine et son axe coïncidant avec l'axe z.

Pour construire un corps délimité par ces surfaces, on considère une région délimitée par une sphère et un cône, ainsi que par les plans x = 0 et z = 0. Ainsi, on obtient un corps délimité par ces surfaces, qui représente la moitié d'un corps délimité par ces surfaces. sphère et demi-cône situés dans le premier octant.

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IDZ Ryabushko 4.2 Option 7 est une tâche mathématique qui contient trois tâches différentes :

1. Il est nécessaire de construire des surfaces et de déterminer leur apparence à l'aide des équations données : a) 4x2 + 6y2 – 24z2 = 96 ; b) y2 + 8z2 = 20x2.

2. Il est nécessaire d'écrire l'équation et de déterminer le type de surface obtenue en faisant tourner cette ligne autour de l'axe de coordonnées spécifié, et également de faire un dessin : une) x2 + 3z2 = 9 ; axe de rotation Oz ; b) x = 4 ; z = 6 ; axe de rotation Oy.

3. Il est nécessaire de construire un corps délimité par les surfaces spécifiées : une) y = x ; y = 0 ; x = 1 ; ... ; z = 0 ; b) x2 + y2 + z2 = 4 ; x2 + y2 = z2 ; x ≥ 0 ; z ≥ 0.

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