Un patineur artistique pesant 70 kg commence à tourner à une fréquence de 1 tr/min

Un patineur artistique pesant 70 kg commence à tourner à une fréquence de 1 rps, en tenant ses bras horizontalement. À quelle fréquence tournera-t-il s’il lève les bras verticalement ? Le corps du patineur artistique est considéré comme un cylindre homogène d'un rayon de 15 cm, les bras sont considérés comme des tiges de 0,75 m et d'une masse de 5 kg chacune.

Imaginons le patineur comme un cylindre homogène de rayon $r = 15,\text{cm}$ et de masse $m_1 = 70,\text{kg}$. Alors le moment d'inertie de son corps par rapport à l'axe vertical passant par son centre de masse est égal à :

$$I_1 = \frac{1}{2}m_1r^2 = 0,07875 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Lorsqu'un patineur tient ses bras horizontalement, son moment d'inertie augmente en raison des moments d'inertie des bras. Le moment d'inertie de chaque bras, considéré comme une tige mince, autour d'un axe vertical passant par son extrémité est égal à :

$$I_2 = \frac{1}{3}m_2l^2 = 0,703125 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

où $m_2 = 5 ,\text{kg}$ est la masse de chaque bras, et $l = 0,75 ,\text{m}$ est la longueur de chaque bras.

Ainsi, le moment d'inertie du système du patineur et de ses bras, lorsqu'il les tient horizontalement, est égal à :

$$I_0 = I_1 + 2I_2 = 1,484 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Lorsqu'un patineur lève les bras verticalement, son moment d'inertie diminue. Le moment d'inertie de chaque bras autour d'un axe vertical passant par son centre de masse est :

$$I_3 = \frac{1}{12}m_2l^2 + \frac{1}{4}m_2r^2 = 0,134766 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Ainsi, le moment d’inertie du système du patineur et de ses bras lorsqu’il les lève verticalement est égal à :

$$I_4 = I_1 + 2I_3 = 0,34828 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

D'après la loi de conservation du moment cinétique $I\omega = const$, où $\omega$ est la vitesse angulaire de rotation, on obtient :

$$I_0\omega_0 = I_4\omega_4$$

À partir de là, vous pouvez trouver la vitesse angulaire $\omega_4$ souhaitée à laquelle le patineur tournera tout en tenant ses bras verticalement :

$$\omega_4 = \frac{I_0}{I_4}\omega_0 = \frac{1.484}{0.34828}\cdot 1 = 4.26 ,\text{об/с}$$

Ainsi, lorsqu'un patineur lève les bras verticalement, sa vitesse de rotation augmentera de 4,26 fois.

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Cet élément est le problème 11088, qui décrit le mouvement d'un patineur artistique de 70 kg commençant une pirouette de 1 rps avec ses bras horizontaux, et lui demande de déterminer à quelle vitesse il tournerait s'il levait les bras verticalement.

Pour résoudre le problème, il est nécessaire d’utiliser les lois de conservation de l’énergie et du moment cinétique. Le corps du patineur artistique est considéré comme un cylindre homogène d'un rayon de 15 cm, et les bras sont considérés comme des tiges de 0,75 m et d'une masse de 5 kg chacune.

Tout d’abord, il faut déterminer le moment d’inertie du système du patineur et de ses bras par rapport à l’axe de rotation. Ensuite, en utilisant la loi de conservation du moment cinétique, on peut trouver la vitesse angulaire de rotation du patineur après avoir levé les bras. En utilisant la loi de conservation de l'énergie, vous pouvez trouver la vitesse de rotation du patineur.

La solution au problème est décrite en détail dans le texte de la tâche 11088, qui contient les formules et les lois utilisées pour la solution, la dérivation de la formule de calcul et la réponse. Si vous avez des questions sur la solution, vous pouvez les poser et obtenir de l'aide.

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