Ein 70 kg schwerer Eiskunstläufer beginnt mit einer Frequenz von 1 U/min zu rotieren

Ein 70 kg schwerer Eiskunstläufer beginnt sich mit einer Frequenz von 1 U/s zu drehen und hält dabei seine Arme horizontal. Mit welcher Frequenz dreht er sich, wenn er seine Arme senkrecht hebt? Der Körper des Eiskunstläufers wird als homogener Zylinder mit einem Radius von 15 cm betrachtet, die Arme gelten als Stäbe von 0,75 m und einer Masse von jeweils 5 kg.

Stellen wir uns den Skater als einen homogenen Zylinder mit dem Radius $r = 15,\text{cm}$ und der Masse $m_1 = 70,\text{kg}$ vor. Dann ist das Trägheitsmoment seines Körpers relativ zur vertikalen Achse, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft, gleich:

$$I_1 = \frac{1}{2}m_1r^2 = 0,07875 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Wenn ein Skater seine Arme horizontal hält, erhöht sich sein Trägheitsmoment aufgrund der Trägheitsmomente der Arme. Das Trägheitsmoment jedes Arms, wenn man ihn als dünnen Stab betrachtet, um eine vertikale Achse, die durch sein Ende verläuft, ist gleich:

$$I_2 = \frac{1}{3}m_2l^2 = 0,703125 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

wobei $m_2 = 5 ,\text{kg}$ die Masse jedes Arms ist und $l = 0,75 ,\text{m}$ die Länge jedes Arms ist.

Somit ist das Trägheitsmoment des Systems aus Skater und seinen Armen, wenn er sie horizontal hält, gleich:

$$I_0 = I_1 + 2I_2 = 1.484 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Wenn ein Skater seine Arme vertikal hebt, verringert sich sein Trägheitsmoment. Das Trägheitsmoment jedes Arms um eine vertikale Achse, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft, beträgt:

$$I_3 = \frac{1}{12}m_2l^2 + \frac{1}{4}m_2r^2 = 0,134766 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Somit ist das Trägheitsmoment des Systems des Skaters und seiner Arme, wenn er sie vertikal anhebt, gleich:

$$I_4 = I_1 + 2I_3 = 0,34828 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Nach dem Gesetz der Drehimpulserhaltung $I\omega = const$, wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit der Rotation ist, erhalten wir:

$$I_0\omega_0 = I_4\omega_4$$

Von hier aus können Sie die gewünschte Winkelgeschwindigkeit $\omega_4$ ermitteln, mit der sich der Skater dreht, während er seine Arme vertikal hält:

$$\omega_4 = \frac{I_0}{I_4}\omega_0 = \frac{1,484}{0,34828}\cdot 1 = 4,26 ,\text{об/с}$$

Wenn also ein Skater seine Arme vertikal hebt, erhöht sich seine Rotationsgeschwindigkeit um das 4,26-fache.

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Bei diesem Item handelt es sich um Aufgabe 11088, die die Bewegung eines 70 kg schweren Eiskunstläufers beschreibt, der eine Drehung mit 1 U/s mit horizontalen Armen beginnt, und von ihm verlangt, zu bestimmen, mit welcher Geschwindigkeit er sich drehen würde, wenn er seine Arme vertikal heben würde.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gesetze der Energie- und Drehimpulserhaltung anzuwenden. Der Körper des Eiskunstläufers wird als homogener Zylinder mit einem Radius von 15 cm betrachtet, und die Arme gelten als Stäbe von 0,75 m und einer Masse von jeweils 5 kg.

Zunächst ist es notwendig, das Trägheitsmoment des Systems des Skaters und seiner Arme relativ zur Rotationsachse zu bestimmen. Mithilfe des Drehimpulserhaltungssatzes können wir dann die Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Skaters nach dem Anheben seiner Arme ermitteln. Mithilfe des Energieerhaltungssatzes können Sie die Rotationsgeschwindigkeit des Skaters ermitteln.

Die Lösung des Problems ist ausführlich im Text der Aufgabe 11088 beschrieben, der die zur Lösung verwendeten Formeln und Gesetze, die Herleitung der Berechnungsformel und die Antwort enthält. Wenn Sie Fragen zur Lösung haben, können Sie diese stellen und Hilfe erhalten.

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