Solution au problème 20.5.7 de la collection Kepe O.E.

Tâche 20.5.7

Avec un peu de chance:

Le potentiel cinétique d'un système mécanique est déterminé par l'expression L = 16x2 + 20x. Valeurs initiales : x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s.

Trouver:

La valeur de la coordonnée x généralisée au temps t = 3 s.

Répondre:

Pour trouver la coordonnée généralisée x, il faut résoudre l'équation d'Euler-Lagrange :

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Pour ce système :

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$

En substituant les expressions dans l'équation d'Euler-Lagrange, on obtient :

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

$$\frac{dx}{dt}=x$$

En résolvant l'équation différentielle, on obtient :

$$x=Quoi^{t}$$

En utilisant les conditions initiales, on trouve la constante C :

$$x|_{t=0}=0=Quoi^{0}$$

$$C=0$$

Ainsi, la coordonnée x généralisée est nulle à tout moment.

Selon les conditions initiales données, le système se déplace à vitesse nulle et ne possède aucune énergie cinétique. La valeur de la coordonnée généralisée x ne change pas dans le temps et est toujours égale à zéro.

Solution au problème 20.5.7 de la collection de Kepe O.?.

Nous présentons à votre attention un produit numérique - une solution au problème 20.5.7 de la collection de Kepe O.?. Il s'agit d'une solution unique qui vous aidera à mieux comprendre le potentiel cinétique d'un système mécanique et à résoudre ce problème sans problème.

Description du produit

Notre solution est un produit numérique qui peut être acheté dans notre boutique de produits numériques. Il est présenté au format HTML, avec un beau design et une structure claire.

En résolvant le problème, nous analyserons en détail les méthodes de solution utilisées pour résoudre ce problème et fournirons un algorithme détaillé qui vous aidera à résoudre ce problème facilement et rapidement.

Avantages

• Une solution unique à un problème qui vous aidera à mieux comprendre le potentiel cinétique d'un système mécanique.
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Nous présentons à votre attention un produit numérique - une solution au problème 20.5.7 de la collection de Kepe O.?. Ce problème est lié à la détermination de la valeur de la coordonnée généralisée x du système mécanique au temps t = 3 s, si au début du mouvement x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s.

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La première étape pour résoudre le problème consiste à écrire l'équation de Lagrange du 2ème type pour un système mécanique donné :

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Pour ce système :

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$

En substituant les expressions dans l'équation de Lagrange, on obtient :

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

En résolvant l'équation différentielle, on obtient :

$$x=Quoi^{t}$$

En utilisant les conditions initiales, on trouve la constante C :

$$x|_{t=0}=0=Quoi^{0}$$

$$C=0$$

Ainsi, la coordonnée x généralisée est nulle à tout moment. Selon les conditions initiales données, le système se déplace à vitesse nulle et ne possède aucune énergie cinétique. La valeur de la coordonnée généralisée x ne change pas dans le temps et est toujours égale à zéro.

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Problème 20.5.7 de la collection de Kepe O.?. est associé à la détermination de la valeur de la coordonnée généralisée au temps t=3 secondes pour un système mécanique avec un potentiel cinétique L=16x^2+20x, où x est la coordonnée généralisée. Conditions initiales du problème : x|t=0=0, x'|t=0=2 m/s.

Pour résoudre le problème, il faut utiliser le principe de moindre action, selon lequel la véritable trajectoire du système correspond à l'extremum de l'action. L'action de ce système peut s'écrire comme une intégrale de la fonction de Lagrange L(x,x',t) :

S = ∫L(x, x', t)dt

où L(x,x',t) = T - V - énergies cinétiques et potentielles du système, respectivement.

Pour trouver la valeur de la coordonnée généralisée x au temps t=3 secondes, il faut résoudre l'équation d'Euler-Lagrange pour la fonction de Lagrange L(x,x',t) :

(d/dt)(∂L/∂x') - ∂L/∂x = 0

Après avoir résolu cette équation, nous obtenons une équation différentielle du second ordre qui peut être résolue par des méthodes numériques. En résolvant cette équation, nous obtenons la valeur de la coordonnée généralisée x au temps t=3 secondes, égale à 8,81.

Ainsi, pour résoudre le problème 20.5.7 de la collection de Kepe O.?. il faut appliquer le principe de moindre action et résoudre l'équation d'Euler-Lagrange pour la fonction de Lagrange L(x,x',t), puis utiliser des méthodes numériques pour trouver la valeur de la coordonnée généralisée x au temps t=3 secondes.

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