重 70 公斤的花样滑冰运动员开始以 1 rpm 的频率旋转

一名重 70 公斤的花样滑冰运动员开始以 1 rps 的频率旋转，双臂保持水平。如果他垂直举起手臂，他会以什么频率旋转？花样滑冰运动员的身体被认为是一个半径为 15 cm 的均质圆柱体，手臂被认为是 0.75 m 的杆，每根质量为 5 kg。

让我们将滑冰者想象成一个半径为 $r = 15,\text{cm}$ 且质量 $m_1 = 70,\text{kg}$ 的均质圆柱体。那么他的身体相对于通过他的质心的垂直轴的惯性矩等于：

$$I_1 = \frac{1}{2}m_1r^2 = 0.07875 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

当滑冰者水平握住手臂时，由于手臂的惯性矩，他的惯性矩增加。每个臂（将其视为一根细杆）绕穿过其端部的垂直轴的惯性矩等于：

$$I_2 = \frac{1}{3}m_2l^2 = 0.703125 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

其中 $m_2 = 5 ，\text{kg}$ 是每个臂的质量，$l = 0.75 ，\text{m}$ 是每个臂的长度。

因此，当滑冰者水平握住它们时，滑冰者及其手臂系统的惯性矩等于：

$$I_0 = I_1 + 2I_2 = 1.484 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

当滑冰者垂直举起手臂时，他的惯性矩会减小。每个臂绕通过其质心的垂直轴的转动惯量为：

$$I_3 = \frac{1}{12}m_2l^2 + \frac{1}{4}m_2r^2 = 0.134766 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

因此，当滑冰者垂直举起手臂时，其系统和手臂的惯性矩等于：

$$I_4 = I_1 + 2I_3 = 0.34828 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

根据角动量守恒定律$I\omega = const$，其中$\omega$为旋转角速度，可得：

$$I_0\omega_0 = I_4\omega_4$$

从这里你可以找到所需的角速度 $\omega_4$ ，滑冰者在垂直握住手臂时旋转的角速度：

$$\omega_4 = \frac{I_0}{I_4}\omega_0 = \frac{1.484}{0.34828}\cdot 1 = 4.26 ,\text{об/с}$$

因此，当滑冰者垂直举起手臂时，他的旋转速度将增加4.26倍。

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本题为问题 11088，描述了一名 70 公斤重的花样滑冰运动员在手臂水平的情况下开始 1 rps 旋转的动作，并要求他确定如果他垂直举起手臂，他会以什么速度旋转。

为了解决这个问题，必须使用能量守恒定律和角动量守恒定律。花样滑冰运动员的身体被认为是一个半径为 15 cm 的均质圆柱体，手臂被认为是 0.75 m 的杆，每根质量为 5 kg。

首先，有必要确定滑冰者的系统和手臂相对于旋转轴的转动惯量。然后，利用角动量守恒定律，我们可以求出滑冰者举起手臂后旋转的角速度。利用能量守恒定律，您可以找到滑冰者旋转的速度。

该题的解法在任务11088的正文中有详细描述，包含解题所用的公式和定律、计算公式的推导以及答案。如果您对解决方案有任何疑问，可以询问他们并获得帮助。

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