Un patinador artístico que pesa 70 kg comienza a girar con una frecuencia de 1 rpm.

Un patinador artístico que pesa 70 kg comienza a girar con una frecuencia de 1 rps, manteniendo los brazos en posición horizontal. ¿Con qué frecuencia rotará si levanta los brazos verticalmente? El cuerpo del patinador artístico se considera un cilindro homogéneo con un radio de 15 cm, los brazos se consideran varillas de 0,75 m y una masa de 5 kg cada una.

Imaginemos al patinador como un cilindro homogéneo de radio $r = 15,\text{cm}$ y masa $m_1 = 70,\text{kg}$. Entonces el momento de inercia de su cuerpo con respecto al eje vertical que pasa por su centro de masa es igual a:

$$I_1 = \frac{1}{2}m_1r^2 = 0.07875 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Cuando un patinador mantiene los brazos en posición horizontal, su momento de inercia aumenta debido a los momentos de inercia de los brazos. El momento de inercia de cada brazo, considerándolo una varilla delgada, respecto de un eje vertical que pasa por su extremo es igual a:

$$I_2 = \frac{1}{3}m_2l^2 = 0.703125 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

donde $m_2 = 5 ,\text{kg}$ es la masa de cada brazo y $l = 0,75 ,\text{m}$ es la longitud de cada brazo.

Así, el momento de inercia del sistema del patinador y sus brazos, cuando los mantiene horizontalmente, es igual a:

$$I_0 = I_1 + 2I_2 = 1.484 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Cuando un patinador levanta los brazos verticalmente, su momento de inercia disminuye. El momento de inercia de cada brazo respecto de un eje vertical que pasa por su centro de masa es:

$$I_3 = \frac{1}{12}m_2l^2 + \frac{1}{4}m_2r^2 = 0.134766 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Así, el momento de inercia del sistema del patinador y de sus brazos cuando los levanta verticalmente es igual a:

$$I_4 = I_1 + 2I_3 = 0.34828 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Según la ley de conservación del momento angular $I\omega = const$, donde $\omega$ es la velocidad angular de rotación, obtenemos:

$$I_0\omega_0 = I_4\omega_4$$

Desde aquí puedes encontrar la velocidad angular deseada $\omega_4$ a la que el patinador rotará mientras sostiene sus brazos verticalmente:

$$\omega_4 = \frac{I_0}{I_4}\omega_0 = \frac{1.484}{0.34828}\cdot 1 = 4.26 ,\text{об/с}$$

Así, cuando un patinador levanta los brazos verticalmente, su velocidad de rotación aumentará 4,26 veces.

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Este producto es el problema 11088, que describe el movimiento de un patinador artístico de 70 kg que comienza a girar a 1 rps con los brazos sostenidos horizontalmente y le exige que determine a qué velocidad giraría si levantara los brazos verticalmente.

Para resolver el problema es necesario utilizar las leyes de conservación de la energía y del momento angular. El cuerpo del patinador artístico se considera un cilindro homogéneo con un radio de 15 cm, y los brazos se consideran varillas de 0,75 my una masa de 5 kg cada una.

Primero, es necesario determinar el momento de inercia del sistema del patinador y sus brazos con respecto al eje de rotación. Luego, usando la ley de conservación del momento angular, podemos encontrar la velocidad angular de rotación del patinador después de levantar los brazos. Usando la ley de conservación de la energía, puedes encontrar la velocidad de rotación del patinador.

La solución al problema se describe en detalle en el texto de la tarea 11088, que contiene las fórmulas y leyes utilizadas para la solución, la derivación de la fórmula de cálculo y la respuesta. Si tiene alguna pregunta sobre la solución, puede preguntarla y obtener ayuda.

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