Un pattinatore del peso di 70 kg inizia a ruotare con una frequenza di 1 minuto al minuto

Un pattinatore del peso di 70 kg inizia a ruotare alla frequenza di 1 rps, tenendo le braccia in posizione orizzontale. Con quale frequenza ruoterà se alza le braccia verticalmente? Il corpo del pattinatore è considerato un cilindro omogeneo con un raggio di 15 cm, le braccia sono considerate aste di 0,75 me una massa di 5 kg ciascuna.

Immaginiamo il pattinatore come un cilindro omogeneo di raggio $r = 15,\text{cm}$ e massa $m_1 = 70,\text{kg}$. Allora il momento d'inerzia del suo corpo rispetto all'asse verticale passante per il suo centro di massa è pari a:

$$I_1 = \frac{1}{2}m_1r^2 = 0,07875 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Quando un pattinatore tiene le braccia orizzontalmente, il suo momento di inerzia aumenta a causa dei momenti di inerzia delle braccia. Il momento d'inerzia di ciascun braccio, considerandolo un'asta sottile, attorno ad un asse verticale passante per la sua estremità è pari a:

$$I_2 = \frac{1}{3}m_2l^2 = 0,703125 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

dove $m_2 = 5 ,\text{kg}$ è la massa di ciascun braccio e $l = 0,75 ,\text{m}$ è la lunghezza di ciascun braccio.

Pertanto, il momento di inerzia del sistema del pattinatore e delle sue braccia, quando le tiene orizzontalmente, è pari a:

$$I_0 = I_1 + 2I_2 = 1.484 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Quando un pattinatore alza le braccia verticalmente, il suo momento di inerzia diminuisce. Il momento d'inerzia di ciascun braccio attorno ad un asse verticale passante per il suo centro di massa è:

$$I_3 = \frac{1}{12}m_2l^2 + \frac{1}{4}m_2r^2 = 0,134766 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Pertanto, il momento di inerzia del sistema del pattinatore e delle sue braccia quando le solleva verticalmente è pari a:

$$I_4 = I_1 + 2I_3 = 0,34828 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

Secondo la legge di conservazione del momento angolare $I\omega = const$, dove $\omega$ è la velocità angolare di rotazione, si ottiene:

$$I_0\omega_0 = I_4\omega_4$$

Da qui puoi trovare la velocità angolare desiderata $\omega_4$ alla quale il pattinatore ruoterà tenendo le braccia verticalmente:

$$\omega_4 = \frac{I_0}{I_4}\omega_0 = \frac{1.484}{0.34828}\cdot 1 = 4.26 ,\text{об/с}$$

Pertanto, quando un pattinatore alza le braccia verticalmente, la sua velocità di rotazione aumenterà di 4,26 volte.

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Questo prodotto è il problema 11088, che descrive il movimento di un pattinatore di 70 kg che inizia a girare a 1 giro con le braccia tenute orizzontalmente e gli richiede di determinare a quale velocità girerebbe se sollevasse le braccia verticalmente.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare le leggi di conservazione dell'energia e del momento angolare. Il corpo del pattinatore è considerato un cilindro omogeneo con un raggio di 15 cm e le braccia sono considerate aste di 0,75 me una massa di 5 kg ciascuna.

Innanzitutto è necessario determinare il momento di inerzia del sistema del pattinatore e delle sue braccia rispetto all’asse di rotazione. Quindi, utilizzando la legge di conservazione del momento angolare, possiamo trovare la velocità angolare di rotazione del pattinatore dopo aver alzato le braccia. Utilizzando la legge di conservazione dell'energia, puoi trovare la velocità di rotazione del pattinatore.

La soluzione al problema è descritta in dettaglio nel testo dell'attività 11088, che contiene le formule e le leggi utilizzate per la soluzione, la derivazione della formula di calcolo e la risposta. Se hai domande sulla soluzione, puoi farle e ottenere aiuto.

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