体重 70 kg のフィギュアスケーターが 1 rpm の周波数で回転し始める

体重 70 kg のフィギュアスケーターが腕を水平に保ち、1 rps の頻度で回転し始めます。腕を垂直に上げた場合、どのくらいの頻度で回転しますか?フィギュアスケーターの体は半径 15 cm の均質な円柱であると考えられ、腕は 0.75 m の棒であり、それぞれの質量が 5 kg であると考えられます。

スケーターを半径 $r = 15,\text{cm}$、質量 $m_1 = 70,\text{kg}$ の均質な円柱として想像してみましょう。この場合、重心を通る垂直軸に対する体の慣性モーメントは次のようになります。

$$I_1 = \frac{1}{2}m_1r^2 = 0.07875 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

スケーターが腕を水平に保持すると、腕の慣性モーメントにより慣性モーメントが増加します。各アームを細いロッドとみなして、その端を通る垂直軸の周りの慣性モーメントは次のようになります。

$$I_2 = \frac{1}{3}m_2l^2 = 0.703125 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

ここで、 $m_2 = 5 ,\text{kg}$ は各アームの質量、 $l = 0.75 ,\text{m}$ は各アームの長さです。

したがって、スケーターと腕を水平に保持したときのシステムの慣性モーメントは次のようになります。

$$I_0 = I_1 + 2I_2 = 1.484 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

スケーターが腕を垂直に上げると、慣性モーメントが減少します。重心を通過する垂直軸の周りの各アームの慣性モーメントは次のとおりです。

$$I_3 = \frac{1}{12}m_2l^2 + \frac{1}{4}m_2r^2 = 0.134766 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

したがって、スケーターのシステムと腕を垂直に上げるときの慣性モーメントは次のようになります。

$$I_4 = I_1 + 2I_3 = 0.34828 ,\text{кг}\cdot\text{м}^2$$

角運動量保存則 $I\omega = const$ ($\omega$ は回転角速度) に従って、次の結果が得られます。

$$I_0\omega_0 = I_4\omega_4$$

ここから、スケーターが腕を垂直に保持したときに回転する望ましい角速度 $\omega_4$ を見つけることができます。

$$\omega_4 = \frac{I_0}{I_4}\omega_0 = \frac{1.484}{0.34828}\cdot 1 = 4.26 ,\text{об/с}$$

したがって、スケーターが腕を垂直に上げると、回転速度は 4.26 倍になります。

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この製品は問題 11088 で、体重 70 kg のフィギュア スケーターが腕を水平に保持した状態で 1 rps で回転し始める動作を記述しており、腕を垂直に上げた場合にどのくらいの速度で回転するかを決定する必要があります。

この問題を解決するには、エネルギー保存則と角運動量保存則を使用する必要があります。フィギュアスケーターの体は半径 15 cm の均質な円柱とみなされ、腕は 0.75 m の棒で、それぞれの質量が 5 kg であると考えられます。

まず、回転軸に対するスケーターのシステムと腕の慣性モーメントを決定する必要があります。次に、角運動量保存の法則を使用して、スケーターが腕を上げた後の回転の角速度を求めることができます。エネルギー保存の法則を使用すると、スケーターの回転速度を知ることができます。

問題の解決方法はタスク 11088 のテキストに詳しく説明されており、解決に使用される公式と法則、計算式の導出と答えが含まれています。解決策について質問がある場合は、質問してサポートを受けることができます。

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