Solución al problema 7.8.13 de la colección de Kepe O.E.

7.8.13 Un punto se mueve a lo largo de un círculo de radio r = 6 m con una velocidad v = 3t. Determine el ángulo en grados entre la aceleración y la velocidad del punto en el tiempo t = 1 s. (Respuesta 26.6)

Consideremos el movimiento de un punto a lo largo de un círculo de radio $r=6$ metros. Se sabe que su velocidad está determinada por la fórmula $v=3t$, donde $t$ es el tiempo de movimiento. Es necesario encontrar el ángulo entre los vectores aceleración y velocidad de un punto en el tiempo $t=1$ segundo.

Solución: La velocidad de un punto se puede expresar a través de la velocidad angular $\omega$ y el radio del círculo $r$: $$v = r\omega.$$ Así, la velocidad angular es igual a $\omega = \frac{v}{r} = \frac{3t}{r}.$

La aceleración de un punto en un movimiento dado se dirige constantemente hacia el centro del círculo y está determinada por la fórmula $a=\frac{v^2}{r}$. Por lo tanto, la aceleración del punto es igual a $a=\frac{(3t)^2}{r}=\frac{9t^2}{r}$.

En el momento de tiempo $t=1$ segundo, la velocidad angular es igual a $\omega=\frac{3}{6}=0.5$ rad/s, y la aceleración es igual a $a=\frac{9 }{6}=1,5$m/c$^2$. El ángulo entre los vectores aceleración y velocidad se puede encontrar usando la fórmula: $$\cos\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|\cdot|\ vec{a}|}.$$

Sustituyendo los valores en esta fórmula, obtenemos: $$\cos\alpha=\frac{(3\cdot1)\cdot(9/6)}{(3\cdot1)\cdot\sqrt{(9/6) )^2+ (3/2)^2}}\approx0.453,$$ de donde $\alpha\approx26.6$ grados. Por tanto, el ángulo deseado es de 26,6 grados.

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Respuesta al problema 7.8.13 de la colección de Kepe O.?. igual a 26,6 grados.

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El producto es la solución al problema 7.8.13 de la colección de Kepe O.?. El problema se formula de la siguiente manera: en un círculo de radio r = 6 m, un punto se mueve con una velocidad v = 3t. Es necesario encontrar el ángulo entre la aceleración y la velocidad del punto en el tiempo t = 1 s. La respuesta al problema es 26,6 grados.

Para resolver el problema es necesario determinar el radio vector del punto en el tiempo t = 1 s, así como su velocidad y aceleración. El radio vector del punto será igual a r = 6 m, ya que el punto se mueve a lo largo de un círculo de radio 6 m. La velocidad del punto en el tiempo t = 1 s será igual a v = 3 m/s, ya que v = 3t, y en t = 1 s, v = 3 m/s.

Para encontrar la aceleración, necesitas usar la fórmula para la aceleración radial a = v^2/r. Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos a = (3 m/s)^2/6 m = 1,5 m/s^2.

Ahora necesitas encontrar el ángulo entre los vectores aceleración y velocidad. Para hacer esto, puedes usar la fórmula cos(ángulo) = (av)/( |a||v| ), donde |a| y |v| - módulos de vectores de aceleración y velocidad, respectivamente.

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos cos(ángulo) = (1,5 m/s^2 * 3 m/s) / (1,5 m/s^2 * 3,16 m/s) ≈ 0,86. De la tabla de cosenos encontramos que el ángulo entre los vectores es de 26,6 grados.

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