IDZ Ryabushko 3.1 Opción 6

N° 1. Se dan cuatro puntos: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Es necesario crear ecuaciones:

a) Ecuación de un plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3:

Para encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos, puedes usar la fórmula:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

donde x, y, z son las coordenadas de un punto arbitrario en el plano, y x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 son las coordenadas de puntos dados.

Sustituyamos las coordenadas de los puntos y obtengamos la ecuación del plano:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Simplifiquemos:

-16 + 26 - 12 = 0

Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Ecuación de una recta que pasa por los puntos A1 y A2:

Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, puedes utilizar las fórmulas:

x = x1 + en y = y1 + bt z = z1 + ct,

donde x1, y1, z1 y x2, y2, z2 son las coordenadas de puntos dados, a, b, c son coeficientes guía, t es un parámetro.

Encontremos los coeficientes guía:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Sustituyamos los valores de las coordenadas y los coeficientes de dirección y obtengamos la ecuación de la recta:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Ecuación de una recta que pasa por el punto A4 y es perpendicular al plano A1A2A3:

Para encontrar la ecuación de una recta perpendicular a un plano determinado y que pasa por un punto determinado, debes seguir los siguientes pasos:

Encuentra la ecuación de un plano que pasa por un punto dado y es perpendicular al plano dado.
Encuentre el punto de intersección del plano encontrado y una línea que pasa por un punto dado y es paralela a un plano dado.
Escribe una ecuación para una línea que pasa por un punto dado y el punto de intersección encontrado.

Encontremos la ecuación de un plano perpendicular al plano A1A2A3 y que pasa por el punto A4. Para ello puedes utilizar la fórmula:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

donde d es el coeficiente desconocido que es necesario encontrar. Sustituyamos las coordenadas del punto A4 y obtengamos la ecuación del plano:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Resolvamos la ecuación y encontremos d:

re = 169

Así, la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y perpendicular al plano A1A2A3 tiene la forma:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Encontremos el punto de intersección del plano encontrado y la recta A1A2. Para hacer esto, sustituimos la ecuación de la línea recta en la ecuación del plano y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Resolviendo la ecuación, encontramos el valor del parámetro t:

t = -3/4

Ahora, encontremos las coordenadas del punto de intersección:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Por tanto, el punto de intersección tiene coordenadas (-3/2; 13; -2). Queda por crear una ecuación para una línea recta que pasa por los puntos A4 y (-3/2; 13; -2). Para ello utilizamos las fórmulas para la ecuación de una recta que pasa por dos puntos:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

donde t es un parámetro.

d) Ecuación de una recta paralela a la recta A1A2 y que pasa por el punto A3:

Para encontrar la ecuación de una recta paralela a una recta dada y que pasa por un punto dado, debes usar las fórmulas:

x = x1 + en y = y1 + bt z = z1 + ct,

donde x1, y1, z1 son las coordenadas del punto dado, a, b, c son los coeficientes guía, que deben ser iguales a los coeficientes guía de la línea recta dada.

Encontremos los coeficientes guía de la línea recta dada A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Así, la ecuación de una recta paralela a la recta A1A2 y que pasa por el punto A3 tiene la forma:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2:

Para encontrar la ecuación de un plano perpendicular a una recta dada y que pasa por un punto dado, debes usar la fórmula:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

donde x0, y0, z0 son las coordenadas de un punto dado, a, b, c son coeficientes de dirección que deben ser perpendiculares al vector dirección de una línea recta dada.

Encontremos el vector director de la recta dada A1A2:

tu = (2, -8, 4)

Por tanto, los coeficientes guía del plano deben ser perpendiculares.

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IDZ Ryabushko 3.1 Opción 6 es una tarea matemática que incluye varias tareas para encontrar ecuaciones de líneas y planos que pasan por puntos dados o paralelos/perpendiculares a líneas y planos dados.

La tarea da cuatro puntos: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), y es necesario crear las ecuaciones:

a) ecuación del plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3; b) la ecuación de una recta que pasa por los puntos A1 y A2; c) la ecuación de una recta que pasa por el punto A4 y es perpendicular al plano A1A2A3; d) ecuación de una recta paralela a la recta A1A2 y que pasa por el punto A3; e) ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2.

Para resolver cada problema se utilizan las fórmulas y métodos adecuados descritos en las condiciones de la tarea.

IDZ Ryabushko 3.1 Opción 6 es un conjunto de tareas en matemáticas que incluyen resolver ecuaciones de planos y líneas, así como encontrar coeficientes directores y planos perpendiculares.

La tarea da cuatro puntos: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Es necesario resolver las siguientes tareas:

a) Encuentra la ecuación del avión que pasa por los puntos A1, A2 y A3. Para hacer esto, puedes usar una fórmula que conecta las coordenadas de un punto arbitrario en el plano con las coordenadas de puntos dados.

b) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A1 y A2. Para hacer esto, necesita usar fórmulas que conecten las coordenadas de un punto arbitrario en una línea recta con las coordenadas de puntos dados.

c) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A4 y es perpendicular al plano A1A2A3. Para hacer esto, primero necesitas encontrar la ecuación de un plano perpendicular a un plano dado y que pasa por un punto dado. Luego necesitas encontrar el punto de intersección de este plano y una línea que pasa por un punto dado y es paralela a un plano dado. Y finalmente, necesitas crear una ecuación para una línea recta que pasa por un punto dado y el punto de intersección encontrado.

d) Encuentre la ecuación de una recta paralela a la recta A1A2 y que pasa por el punto A3. Para hacer esto, necesita usar fórmulas que conectan las coordenadas de un punto arbitrario en una línea con las coordenadas de un punto dado y los coeficientes guía de una línea dada.

e) Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2. Para hacer esto, necesita usar una fórmula que conecte las coordenadas de un punto arbitrario en el plano con las coordenadas de un punto dado y coeficientes guía, que deben ser perpendiculares a la guía de una línea recta dada.

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IDZ Ryabushko 3.1 Opción 6 es una tarea de geometría que contiene varias subtareas de diversa complejidad.

N° 1. En la primera tarea, se dan cuatro puntos en el espacio tridimensional, y también es necesario crear ecuaciones del plano y las líneas que pasan por estos puntos, calcular ángulos y encontrar perpendiculares y paralelos.

a) Para compilar la ecuación del plano A1A2A3, puede utilizar la fórmula de la ecuación general del plano Ax + By + Cz + D = 0, donde los coeficientes A, B y C se determinan utilizando el producto vectorial de los vectores que se encuentran en este plano. Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Para compilar la ecuación de la recta A1A2, puedes utilizar la fórmula de la ecuación paramétrica de la recta, que tiene la forma:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Para compilar la ecuación de la recta A4M, se puede utilizar la fórmula de la ecuación paramétrica de una recta que pasa por los puntos A4 y M. El punto M no está especificado, por lo que debe elegirse arbitrariamente. Por ejemplo, puedes tomar el punto M(0,0,0). Entonces la ecuación paramétrica de la recta A4M tendrá la forma:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8-2t

La perpendicular al plano A1A2A3 se puede encontrar utilizando el vector normal de este plano, que está determinado por los coeficientes de la ecuación del plano. Así, el vector normal del plano A1A2A3 tiene coordenadas (-5, 7, -11), y la recta A4N, perpendicular al plano A1A2A3, tendrá la ecuación:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) La recta A3N es paralela a la recta A1A2, lo que significa que su vector director coincidirá con el vector director de la recta A1A2. El vector director de la recta A1A2 tiene coordenadas (2, -8, 4), por lo que la ecuación de la recta A3N tendrá la forma:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) La ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta A1A2 se puede encontrar mediante la fórmula de la ecuación general del plano y el vector normal, que se dirigirá perpendicular a la recta A1A2 y, por tanto, coincidirá con la dirección. vector de la línea A1A4. El vector director de la recta A1A4 tiene coordenadas (3, -16, 7), por lo que el vector normal del plano tendrá coordenadas (3, -16, 7), y la ecuación del plano será:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

f) Para calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3, es necesario encontrar el coseno del ángulo entre el vector director de la recta A1A4 y el vector normal del plano A1A2A3, y luego tomar el seno del ángulo adicional al coseno calculado. El vector director de la recta A1A4 tiene coordenadas (3, -16, 7) y el vector normal del plano A1A2A3 tiene coordenadas (-5, 7, -11). Su producto escalar es -211 y las longitudes de los vectores son √290,5 y √195, lo que da como resultado el coseno del ángulo entre ellos igual a -0,924. En consecuencia, el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 será igual a √(1-0.924^2) ≈ 0.383.

g) Para calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3, es necesario encontrar el ángulo entre sus vectores normales. El vector normal del plano de coordenadas Oxy tiene coordenadas (0, 0, 1), y el vector normal del plano A1A2A3 se encontró anteriormente y tiene coordenadas (-5, 7, -11). Su producto escalar es -11 y las longitudes de los vectores son 1 y √195, lo que da el coseno del ángulo entre ellos igual a -0,056. En consecuencia, el ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3 será aproximadamente igual a acos(-0,056) ≈ 90,6 grados.

No. 2. En la segunda tarea, debes crear una ecuación para un plano que pasa por dos puntos dados y es paralelo al eje Oy.

Para que el plano sea paralelo al eje Oy, su vector normal debe estar dirigido a lo largo del eje Oy, es decir, sus coordenadas deben ser (0, k, 0), donde k es un número arbitrario. El vector normal del plano también debe ser perpendicular al vector que conecta los puntos A(2, 5, -1) y B(-3, 1, 3), es decir, su producto escalar debe ser cero.

Por tanto, la ecuación del avión es:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

donde k es un número arbitrario.

Numero 3. En la tercera tarea, necesitas encontrar el valor del parámetro en el que la línea es paralela a una línea dada. Para hacer esto, es necesario expresar las coordenadas del vector de dirección de una línea dada a través de parámetros y encontrar las coordenadas correspondientes del vector de dirección de la línea deseada. Entonces necesitas

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