IDZ 10.2 – Opción 1. Soluciones Ryabushko A.P.

1. Encontremos las ecuaciones del plano tangente y la normal a la superficie S en el punto M0(2, 1, –1).

Buscamos el gradiente de la superficie S: grad(S) = (2x-4, 2y, 2z+6). En el punto M0(2, 1, –1) tenemos: grad(S) = (0, 2, 4). Dado que el plano tangente a la superficie S en el punto M0 es paralelo al gradiente de la superficie, la ecuación del plano tangente tiene la forma: 0(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, es decir, y + 2z - 1 = 0. La ecuación de la normal a la superficie S en el punto M0 tiene la forma: 2(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, es decir, x + y + 2z - 8 = 0.

1. Encontremos las segundas derivadas parciales de la función z=ex2-y2 y asegurémonos de que z''xy = z''yx.

Calculamos las primeras derivadas parciales: z'x=2xe^(x^2-y^2), z'y=-2ye^(x^2-y^2). A continuación encontramos las segundas derivadas parciales: z''xy=2e^(x^2-y^2)-4x^2e^(x^2-y^2), z''yx=2e^(x^2). -y^2)-4y^2e^(x^2-y^2). Tenga en cuenta que z''xy = z''yx, lo que significa que la función z=ex2-y2 satisface la condición de igualdad de derivadas mixtas.

1. Comprobemos si la función u(x,y,z) = 2x^2+3y^2+z^2-4xy-6xz+8yz satisface la ecuación de Laplace.

Calculemos Laplace a partir de la función u(x,y,z): Δu = u''xx + u''yy + u''zz = 4 + 6 + 2 = 12. Como Δu no es igual a cero, entonces la función u(x,y,z) no satisface la ecuación de Laplace.

1. Examinemos la función z=y√x – 2y^2 – x + 14y para un extremo.

Calculamos las derivadas parciales: z'x= y/(2√x) - 1, z'y= √x - 4y + 14. Encuentra los puntos estacionarios: z'x=0 => y/(2√x) = 1 = > y=2√x, z'y=0 => √x - 4y + 14 = 0 => √x - 8√x + 14 = 0 => x = 4, y = 4. Verifique que sea suficiente condiciones para el extremo: z ''xx= -y/(4x^(3/2)) 0. Desde z''xx

1. Encontremos los valores mayor y menor de la función z=3x+y-xy en el área D, delimitada por las rectas y=x, y=4, x=0.

Expresamos y en términos de x en la ecuación y=4: y=4. Sustituye y=x en la función z=3x+y-xy: z=4x-2x^2. Calculamos las derivadas: z'x=4-4x, z''xx=-4. Encuentre el punto crítico: z'x=0 => x=1, luego y=1. Comprobamos las condiciones suficientes para el extremo: z''xx=-4

IDZ 10.2 – Opción 1. Soluciones Ryabushko A.P. es un producto digital, que es una colección de soluciones a tareas matemáticas desarrolladas por A.P. Riabushko. Contiene soluciones claras y detalladas para las tareas que ayudarán a los estudiantes a comprender mejor el material y prepararse para los exámenes.

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IDZ 10.2 – Opción 1. Soluciones Ryabushko A.P. es un conjunto de problemas de análisis matemático, que cubre las siguientes tareas:

1. Es necesario encontrar las ecuaciones del plano tangente y normal a una superficie dada S en el punto M0(x0, y0, z0). La superficie S viene dada por la ecuación x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0, y el punto M0 tiene coordenadas (2, 1, – 1).

2. Es necesario encontrar las segundas derivadas parciales de las funciones indicadas y comprobar que z''xy = z''yx. La función z(x,y) viene dada por la ecuación z = ex2-y2.

3. Es necesario comprobar si la función u satisface la ecuación especificada.

4. Es necesario examinar la función z(x,y) = y√x – 2y2 – x + 14y para conocer su extremo.

5. Es necesario encontrar los valores mayor y menor de la función z(x,y) = 3x + y – xy en la región D, limitada por las líneas dadas y = x, y = 4, x = 0.

El conjunto de problemas está diseñado en Microsoft Word 2003 utilizando el editor de fórmulas. Las soluciones a los problemas se presentan en forma detallada.

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1. Un producto digital muy conveniente para la preparación de exámenes.
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