Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opción 6

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N° 1.6. Dados cuatro puntos A1(0;7;1); A2(2;–1;5); A3(1;6;3); A4(3;–9;8). Necesario:

a) crear una ecuación para el avión A1A2A3;

b) trazar una ecuación de la recta A1A2;

c) trazar una ecuación de la recta A4M, que es perpendicular al plano A1A2A3;

d) componer una ecuación para la recta A3N, que es paralela a la recta A1A2;

e) crear una ecuación para un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2;

f) calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3;

g) calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

a) Para compilar la ecuación del plano A1A2A3, encontramos el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en este plano:

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma:

$14x + 2y + 18z - 56 = $0

b) Para compilar la ecuación de la recta A1A2, usaremos la forma paramétrica de la ecuación de la recta:

$x = 0 + 2t = 2t$

$y = 7 - 8t$

$z = 1 + 4t$

d) Para componer la ecuación de la recta A3N paralela a la recta A1A2 utilizamos su forma paramétrica:

$x = 1 + 2t$

$y = 6 - 7t$

$z = 3 + 2t$

e) Para compilar la ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2, encontramos un vector que es perpendicular a esta recta:

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

Dado que el plano deseado es perpendicular al vector $\overrightarrow{A_1A_2}$, su ecuación tiene la forma:

$2x - 8y + 4z + d = 0$

Para determinar el coeficiente d, sustituimos las coordenadas del punto A4 en la ecuación:

$2\cdot3 - 8\cdot(-9) + 4\cdot8 + d = 0$

$d = -14$

Así, la ecuación del plano deseado tiene la forma:

$2x - 8y + 4z - 14 = $0

c) Para compilar la ecuación de la recta A4M perpendicular al plano A1A2A3, encontramos el vector que se encuentra en este plano:

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Dado que la línea recta deseada es perpendicular al vector $\overrightarrow{n}$, su vector director tiene la forma:

$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x_A - x_M \ y_A - y_M \ z_A - z_M\end{pmatrix}$

donde el punto M se encuentra en la línea A4M. Como la recta A4M es perpendicular al plano A1A2A3, el vector $\overrightarrow{AM}$ debe ser paralelo al vector $\overrightarrow{n}$:

$\overrightarrow{AM} = t \cdot \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Por tanto, la ecuación de la recta A4M tiene la forma:

$x = 3 + 14t$

$y = -9 + 2t$

$z = 8 + 18t$

f) Para calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3, es necesario encontrar el producto escalar de un vector paralelo a la recta A1A4 y un vector perpendicular al plano A1A2A3:

$\overrightarrow{A_1A_4} = \begin{pmatrix}3 \ -16 \ 7\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{A_1A_4}| = \sqrt{3^2 + (-16)^2 + 7^2} = \sqrt{314}$

$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 18^2} = \sqrt{380}$

Dado que el seno del ángulo entre vectores se define como la relación entre el producto escalar de los vectores y el producto de sus módulos, el seno de este ángulo es igual a:

$\sin{\alpha} = \frac{\overrightarrow{A_1A_4} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A_1A_4}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \frac{28}{\sqrt{314} \cdot \sqrt{380}} \aprox 0,425$

g) Para calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3, es necesario encontrar el producto escalar de un vector perpendicular al plano A1A2A3 y que se encuentra en el plano Oxy, y un vector perpendicular al plano Oxy. y acostado en el plano A1A2A3:

$\overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \ 2 \ 0\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{n_1}| = 1$

$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = 2\sqrt{17}$

Como el coseno del ángulo entre los vectores es

"Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 6" es un producto digital que es una solución a una tarea individual de matemáticas compilada por A.P. Riabushko. La solución se realiza con la opción número 6 de la tarea 3.1 y está destinada a ser utilizada por estudiantes y estudiantes que cursan este curso.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opción 6 es una tarea de geometría que consta de varios puntos.

N° 1.6. Dados cuatro puntos en el espacio tridimensional, es necesario crear ecuaciones para el plano y las rectas que pasan por estos puntos, así como calcular el seno y el coseno de los ángulos entre algunos de ellos.

N° 2.6. Se requiere crear una ecuación para un plano que pasa por dos puntos dados y es paralelo al eje de coordenadas seleccionado.

N° 3.6. Es necesario encontrar el valor del parámetro en el que las líneas dadas serán paralelas.

Si tiene alguna pregunta, puede comunicarse con el vendedor que figura en la información del vendedor.

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