Lösung für Problem 13.5.19 aus der Sammlung von Kepe O.E.

13.5.19

Für einen materiellen Punkt wird die Schwingungsbewegung durch die Differentialgleichung x + 6x' + 50x = 0 beschrieben. Es ist notwendig, die Periode gedämpfter Schwingungen zu bestimmen.

Antwort: 0,981

Betrachten wir diese Differentialgleichung der Schwingungsbewegung eines materiellen Punktes und finden wir eine Lösung. Die charakteristische Gleichung hat die Form:

r^2 + 6r + 50 = 0

Die Diskriminante dieser Gleichung ist:

D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4150 = -116

Da die Diskriminante negativ ist, sind die Wurzeln der Gleichung komplex:

r1 = -3 + 4i r2 = -3 - 4i

Somit hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung die Form:

x(t) = e^(-3t)(с1cos(4t) + с2Sünde(4t))

wobei c1 und c2 beliebige Konstanten sind.

Die Periode gedämpfter Schwingungen wird durch die Formel bestimmt:

T = 2*pi/h,

wobei ω die Eigenfrequenz der Schwingungen ist, gleich 4.

Dann ist die Periode gedämpfter Schwingungen gleich:

T = 2*pi/4 = pi/2 ≈ 0,981.

Lösung zu Aufgabe 13.5.19 aus der Sammlung von Kepe O.?.

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Aufgabe 13.5.19 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Periode gedämpfter Schwingungen eines materiellen Punktes zu bestimmen, der sich gemäß der Differentialgleichung x + 6x + 50x = 0 bewegt. Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung zu finden und die Werte von zu bestimmen die Konstanten unter Verwendung der Anfangsbedingungen. Anschließend kann anhand der gefundenen Werte der Konstanten die Periode gedämpfter Schwingungen berechnet werden.

Antwort auf Aufgabe 13.5.19 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist 0,981.

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