Lösung für Problem 20.2.14 aus der Sammlung von Kepe O.E.

In diesem Problem gibt es Zylinder 1, auf den ein Kräftepaar mit einem Moment M = 120 N·m und einem Reibungskräftemoment Mtr = 10 N·m wirkt. Am Ende eines nicht dehnbaren Fadens wird eine Last 2 mit einer Masse von m2 = 40 kg befestigt. Der Radius des Zylinders beträgt R = 0,3 m.

Um das Problem zu lösen, wählen wir den Winkel φ als verallgemeinerte Koordinate. Dann ist das Trägheitsmoment des Zylinders gleich I = mR²/2, wobei m die Masse des Zylinders ist. Unter Berücksichtigung dieser Tatsache kann die Bewegungsgleichung der Last wie folgt geschrieben werden:

m2gRsinφ - T = m2R²φ''

Dabei ist g die Erdbeschleunigung, T die verallgemeinerte Kraft und m2R²φ'' die Winkelbeschleunigung der Last.

Da der Faden nicht dehnbar ist, ist die Geschwindigkeit der Last gleich der Geschwindigkeit des Kontaktpunkts des Fadens mit dem Zylinder, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Last als Rφ' definiert werden kann. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Trägheitsmoment des Zylinders gleich mR²/2 ist, erhalten wir den folgenden Ausdruck für das Moment der Reibungskräfte:

Mtr = - (mR²/2)φ'

Unter Berücksichtigung dessen drücken wir die verallgemeinerte Kraft T aus:

T = m2gRsinφ + (mR²/2)φ'' - Мтр = m2gRsinφ + (mR²/2)φ'' + (mR²/2)φ'

Durch Lösen dieser Gleichung erhalten wir die verallgemeinerte Kraft T = -7,72.

Daher haben wir die verallgemeinerte Kraft basierend auf den gegebenen Parametern des Systems bestimmt.

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Aufgabe 20.2.14 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

Auf Zylinder 1 wirkt ein Kräftepaar mit einem Moment $M=120$ N$\cdot$m und einem Reibungskräftemoment $M_{\text{tr}}=10$ N$\cdot$m. Am Zylinder ist eine Last 2 mit einer Masse von $m_2=40$ kg befestigt, die am Ende eines nicht dehnbaren Fadens festgebunden ist. Der Radius des Zylinders beträgt $R=0,3$ m. Durch die Wahl des Winkels $\theta$ als verallgemeinerte Koordinate ist es notwendig, die verallgemeinerte Kraft zu bestimmen.

Die Lösung dieses Problems hängt mit der Bestimmung der Bewegungsgleichung des Systems zusammen. Dazu ist es notwendig, die Beschleunigung der Last und des Zylinders durch eine verallgemeinerte Koordinate auszudrücken und dann dynamische Gleichungen für jedes Element des Systems zu schreiben.

Als Ergebnis der Lösung dieses Problems erhält man den Wert der verallgemeinerten Kraft, der $-7,72$ beträgt.

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