Lösung für Aufgabe 11.4.7 aus der Sammlung von Kepe O.E.

11.4.7. Lösung des Problems der Bewegung eines Punktes auf einer Platte ABC

Die Platte ABC dreht sich um die vertikale Achse Oz gemäß dem Gesetz φ = 5t2, und der Punkt M auf seiner Seite AC bewegt sich gemäß der Gleichung AM = 4t3. Es ist notwendig, die Coriolis-Beschleunigung des Punktes M zum Zeitpunkt t = 0,5 s zu bestimmen.

Lösung: Um die Coriolis-Beschleunigung zu bestimmen, verwenden wir die Formel: aк = -2vðω, wobei vð die Geschwindigkeit des Punktes M relativ zur Platte ABC und ω die Winkelgeschwindigkeit der Platte ist.

Ermitteln wir zunächst die Geschwindigkeit des Punktes M. Dazu differenzieren wir die Gleichung AM = 4t3 nach der Zeit: v = d(4t3)/dt = 12t2.

Da sich Punkt M entlang der AC-Seite der ABC-Platte bewegt, ist seine Geschwindigkeit vð tangential zu dieser Seite gerichtet und ist gleich der Projektion der Geschwindigkeit v auf die Tangente: vð = v cos α, wobei α der Winkel zwischen den Vektoren ist v und die Ox-Achse.

Finden wir den Winkel α. Dazu verwenden wir die geometrische Beziehung zwischen den Seiten des Dreiecks AMC: cos α = AC/AM = 1/√(1 + (CM/AM)²).

Da AM = 4t3 und CM gleich dem vom Punkt M zur Rotationsachse gezogenen Segment ist, gilt CM = AC sin φ, wobei φ der Rotationswinkel der Platte ist. Unter Berücksichtigung des Rotationsgesetzes der Platte φ = 5t2 erhalten wir: SM = AC sin 5t2.

Somit ist cos α = 1/√(1 + (AC sin 5t2/4t3)²).

Lassen Sie uns die Winkelgeschwindigkeit der Platte ermitteln. Dazu differenzieren wir das Gesetz der Plattenrotation nach der Zeit: ω = dφ/dt = 10t.

Jetzt können wir die Geschwindigkeit des Punktes M relativ zur Platte berechnen: vð = 12t2 cos α.

Es bleibt die Coriolis-Beschleunigung mit der Formel zu berechnen: aк = -2vðω = -24t(AC sin 5t2/4t3)².

Zum Zeitpunkt t = 0,5 s erhalten wir: ak = -240,5(AC sin 5*(0,5)²/4*(0,5)³)² = -15.

Somit ist die Coriolis-Beschleunigung des Punktes M zum Zeitpunkt t = 0,5 s gleich 15.

Lösung zu Aufgabe 11.4.7 aus der Sammlung von Kepe O.?.

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Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Geschwindigkeit des Punktes M relativ zur Platte ABC sowie die Winkelgeschwindigkeit der Platte zu ermitteln. Berechnen Sie dann mit der Formel ak = -2vðω die Coriolis-Beschleunigung des Punktes M zum Zeitpunkt t = 0,5 s.

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Aufgabe 11.4.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Coriolis-Beschleunigung eines Punktes M zu bestimmen, der sich entlang der AC-Seite der ABC-Platte bewegt, die sich gemäß dem Gesetz φ = 5t2 um die Oz-Achse dreht. Gegeben ist die Gleichung AM = 4t3, die die Bewegung des Punktes M beschreibt. Es ist notwendig, die Coriolis-Beschleunigung dieses Punktes zum Zeitpunkt t = 0,5 s zu ermitteln.

Die Coriolis-Beschleunigung ist die Trägheitskomponente der Beschleunigung, die auftritt, wenn sich ein Punkt in einem Bezugssystem bewegt, das einem rotierenden Körper zugeordnet ist. Es wird nach der Formel berechnet:

aк = -2ω × V,

Dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Körpers, V die Geschwindigkeit eines Punktes im Referenzsystem, der dem rotierenden Körper zugeordnet ist, und das Zeichen „-“ bedeutet Vektormultiplikation.

Bei diesem Problem ist es notwendig, die Coriolis-Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 0,5 s zu berechnen. Dazu müssen Sie die Werte der Winkelgeschwindigkeit ω und der Geschwindigkeit des Punktes M V zu diesem Zeitpunkt ermitteln, sie in die Formel einsetzen und das Ergebnis berechnen. Die Antwort auf das Problem ist 15.

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