IDZ Ryabushko 3.1 Option 6

Nr. 1. Es werden vier Punkte vergeben: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Es müssen Gleichungen erstellt werden:

a) Gleichung einer Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft:

Um die Gleichung einer Ebene zu finden, die durch drei Punkte verläuft, können Sie die Formel verwenden:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

Dabei sind x, y, z die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Ebene und x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 die Koordinaten bestimmter Punkte.

Ersetzen wir die Koordinaten der Punkte und erhalten die Gleichung der Ebene:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Vereinfachen wir:

-16 + 26 - 12 = 0

Somit hat die Gleichung der Ebene A1A2A3 die Form:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft:

Um die Gleichung einer Geraden zu finden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, können Sie die folgenden Formeln verwenden:

x = x1 + bei y = y1 + bt z = z1 + ct,

wobei x1, y1, z1 und x2, y2, z2 die Koordinaten gegebener Punkte sind, a, b, c Leitkoeffizienten sind und t ein Parameter ist.

Finden wir die Leitkoeffizienten:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Ersetzen wir die Werte der Koordinaten und Richtungskoeffizienten und erhalten die Gleichung der Geraden:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht:

Um die Gleichung einer Geraden zu finden, die senkrecht zu einer bestimmten Ebene steht und durch einen bestimmten Punkt verläuft, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Finden Sie die Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und senkrecht zur gegebenen Ebene steht.
2. Finden Sie den Schnittpunkt der gefundenen Ebene und einer Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft und parallel zu einer bestimmten Ebene verläuft.
3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen gegebenen Punkt und den gefundenen Schnittpunkt verläuft.

Finden wir die Gleichung einer Ebene senkrecht zur Ebene A1A2A3, die durch den Punkt A4 verläuft. Dazu können Sie die Formel verwenden:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

Dabei ist d der unbekannte Koeffizient, der gefunden werden muss. Ersetzen wir die Koordinaten von Punkt A4 und erhalten die Gleichung der Ebene:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Lösen wir die Gleichung und finden d:

d = 169

Somit hat die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht, die Form:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Finden wir den Schnittpunkt der gefundenen Ebene und der Geraden A1A2. Dazu setzen wir die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und lösen das resultierende Gleichungssystem:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Wenn wir die Gleichung lösen, finden wir den Wert des Parameters t:

t = -3/4

Suchen wir nun die Koordinaten des Schnittpunkts:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Somit hat der Schnittpunkt Koordinaten (-3/2; 13; -2). Es bleibt noch eine Gleichung für eine Gerade zu erstellen, die durch die Punkte A4 und (-3/2; 13; -2) verläuft. Dazu verwenden wir die Formeln für die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

wobei t ein Parameter ist.

d) Gleichung einer Geraden parallel zur Geraden A1A2, die durch den Punkt A3 verläuft:

Um die Gleichung einer Geraden zu finden, die parallel zu einer gegebenen Geraden verläuft und durch einen gegebenen Punkt verläuft, müssen Sie die Formeln verwenden:

x = x1 + bei y = y1 + bt z = z1 + ct,

Dabei sind x1, y1, z1 die Koordinaten des gegebenen Punktes, a, b, c die Leitkoeffizienten, die gleich den Leitkoeffizienten der gegebenen Geraden sein müssen.

Finden wir die Leitkoeffizienten der gegebenen Geraden A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Somit hat die Gleichung einer Geraden parallel zur Geraden A1A2, die durch den Punkt A3 verläuft, die Form:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht:

Um die Gleichung einer Ebene zu finden, die senkrecht zu einer bestimmten Geraden steht und durch einen bestimmten Punkt verläuft, müssen Sie die Formel verwenden:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

wobei x0, y0, z0 die Koordinaten eines gegebenen Punktes sind, a, b, c Richtungskoeffizienten, die senkrecht zum Richtungsvektor einer gegebenen Geraden sein müssen.

Finden wir den Richtungsvektor der gegebenen Geraden A1A2:

u = (2, -8, 4)

Daher müssen die Führungskoeffizienten der Ebene senkrecht sein

Ryabushko IDZ 3.1 Option 6 ist ein digitales Produkt, bei dem es sich um eine Sammlung von Mathematikaufgaben für Schulkinder handelt. Dieses Produkt enthält Aufgaben zu verschiedenen Themen wie Geometrie, Algebra und Trigonometrie mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden, sodass Sie es sowohl zum Selbststudium als auch zur Vorbereitung auf Olympiaden und Prüfungen verwenden können.

Das Produkt ist in einem schönen HTML-Format gestaltet, was die Verwendung erleichtert und es Ihnen ermöglicht, die benötigten Informationen schnell und einfach zu finden. Das Produkt enthält außerdem eine detaillierte Beschreibung jeder Aufgabe sowie Beispiellösungen für ein umfassenderes Verständnis des Materials.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 ist eine ausgezeichnete Wahl für alle, die ihr Wissensniveau in Mathematik verbessern und ihre Ergebnisse in der Schule oder bei Wettbewerben verbessern möchten. Dank seines praktischen Formats und Inhalts wird dieses Produkt zu einem unverzichtbaren Helfer für jeden, der mathematische Probleme erfolgreich lösen möchte.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 ist eine mathematische Aufgabe, die mehrere Aufgaben zum Finden von Gleichungen für Linien und Ebenen umfasst, die durch gegebene Punkte oder parallel/senkrecht zu gegebenen Linien und Ebenen verlaufen.

Die Aufgabe gibt vier Punkte: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), und es muss erstellt werden die Gleichungen:

a) Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft; b) die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft; c) die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht; d) Gleichung einer Geraden parallel zur Geraden A1A2, die durch Punkt A3 verläuft; e) Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht.

Zur Lösung jedes Problems werden die entsprechenden Formeln und Methoden verwendet, die in den Aufgabenbedingungen beschrieben sind.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 ist eine Reihe von Aufgaben in der Mathematik, die das Lösen von Gleichungen von Ebenen und Linien sowie das Finden von Richtungskoeffizienten und senkrechten Ebenen umfassen.

Die Aufgabe gibt vier Punkte: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Folgende Aufgaben müssen gelöst werden:

a) Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft. Dazu können Sie eine Formel verwenden, die die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Ebene mit den Koordinaten bestimmter Punkte verbindet.

b) Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft. Dazu müssen Sie Formeln verwenden, die die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer Linie mit den Koordinaten bestimmter Punkte verbinden.

c) Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Ebene A1A2A3 verläuft. Dazu müssen Sie zunächst die Gleichung einer Ebene finden, die senkrecht zu einer bestimmten Ebene steht und durch einen bestimmten Punkt verläuft. Dann müssen Sie den Schnittpunkt dieser Ebene und einer Linie finden, die durch einen bestimmten Punkt und parallel zu einer bestimmten Ebene verläuft. Und schließlich müssen Sie eine Gleichung für eine Linie erstellen, die durch einen bestimmten Punkt und den gefundenen Schnittpunkt verläuft.

d) Finden Sie die Gleichung einer Geraden parallel zur Geraden A1A2, die durch Punkt A3 verläuft. Dazu müssen Sie Formeln verwenden, die die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer Linie mit den Koordinaten eines bestimmten Punktes und den Richtungskoeffizienten einer bestimmten Linie verbinden.

e) Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft. Dazu müssen Sie eine Formel verwenden, die die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Ebene mit den Koordinaten eines bestimmten Punktes und Führungskoeffizienten verbindet, die senkrecht zur Führung einer bestimmten geraden Linie stehen müssen.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 ist eine Geometrieaufgabe, die mehrere Unteraufgaben unterschiedlicher Komplexität enthält.

Nr. 1. In der ersten Aufgabe werden vier Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben, außerdem müssen Sie Gleichungen der Ebene und der durch diese Punkte verlaufenden Linien erstellen, Winkel berechnen und Senkrechte und Parallelen finden.

a) Um die Gleichung der Ebene A1A2A3 zu erstellen, können Sie die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene Ax + By + Cz + D = 0 verwenden, wobei die Koeffizienten A, B und C anhand des Vektorprodukts liegender Vektoren bestimmt werden in diesem Flugzeug. Somit hat die Gleichung der Ebene A1A2A3 die Form:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Um die Gleichung der Geraden A1A2 zu erstellen, können Sie die Formel für die parametrische Gleichung der Geraden verwenden, die die Form hat:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Um die Gleichung der Geraden A4M zu erstellen, können Sie die Formel für die parametrische Gleichung einer Geraden verwenden, die durch die Punkte A4 und M verläuft. Punkt M ist nicht angegeben, daher muss er willkürlich gewählt werden. Sie können beispielsweise den Punkt M(0,0,0) nehmen. Dann hat die Parametergleichung der Geraden A4M die Form:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Die Senkrechte zur Ebene A1A2A3 kann mithilfe des Normalenvektors dieser Ebene ermittelt werden, der durch die Koeffizienten der Ebenengleichung bestimmt wird. Somit hat der Normalenvektor der Ebene A1A2A3 die Koordinaten (-5, 7, -11) und die Gerade A4N, senkrecht zur Ebene A1A2A3, hat die Gleichung:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Die Gerade A3N ist parallel zur Geraden A1A2, was bedeutet, dass ihr Richtungsvektor mit dem Richtungsvektor der Geraden A1A2 zusammenfällt. Der Richtungsvektor der Geraden A1A2 hat die Koordinaten (2, -8, 4), daher hat die Gleichung der Geraden A3N die Form:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, kann mithilfe der Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene und des Normalenvektors ermittelt werden, die senkrecht zur Linie A1A2 gerichtet ist und daher mit der Richtung zusammenfällt Vektor der Linie A1A4. Der Richtungsvektor der Geraden A1A4 hat die Koordinaten (3, -16, 7), daher hat der Normalenvektor der Ebene die Koordinaten (3, -16, 7) und die Gleichung der Ebene lautet:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) Um den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 zu berechnen, müssen Sie den Kosinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der Geraden A1A4 und dem Normalenvektor der Ebene A1A2A3 ermitteln und dann ermitteln Sinus des Winkels zusätzlich zum berechneten Kosinus. Der Richtungsvektor der Geraden A1A4 hat die Koordinaten (3, -16, 7) und der Normalenvektor der Ebene A1A2A3 hat die Koordinaten (-5, 7, -11). Ihr Skalarprodukt ist -211 und die Längen der Vektoren betragen √290,5 und √195, was den Kosinus des Winkels zwischen ihnen gleich -0,924 ergibt. Folglich beträgt der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Um den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 zu berechnen, müssen Sie den Winkel zwischen ihren Normalenvektoren ermitteln. Der Normalenvektor der Koordinatenebene Oxy hat die Koordinaten (0, 0, 1), und der Normalenvektor der Ebene A1A2A3 wurde früher gefunden und hat die Koordinaten (-5, 7, -11). Ihr Skalarprodukt beträgt -11 und die Längen der Vektoren betragen 1 und √195, was einen Kosinus des Winkels zwischen ihnen von -0,056 ergibt. Folglich beträgt der Winkel zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 ungefähr acos(-0,056) ≈ 90,6 Grad.

Nr. 2. In der zweiten Aufgabe müssen Sie eine Gleichung für eine Ebene erstellen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft und parallel zur Oy-Achse verläuft.

Damit die Ebene parallel zur Oy-Achse verläuft, muss ihr Normalenvektor entlang der Oy-Achse gerichtet sein, d. h. ihre Koordinaten müssen (0, k, 0) sein, wobei k eine beliebige Zahl ist. Der Normalenvektor der Ebene muss auch senkrecht zum Vektor stehen, der die Punkte A(2, 5, -1) und B(-3, 1, 3) verbindet, d. h. ihr Skalarprodukt muss Null sein.

Somit lautet die Gleichung der Ebene:

kJahr - 5k + 2*z - 4 = 0

wobei k eine beliebige Zahl ist.

Nr. 3. In der dritten Aufgabe müssen Sie den Wert des Parameters ermitteln, bei dem die Linie parallel zu einer bestimmten Linie verläuft. Dazu ist es notwendig, die Koordinaten des Richtungsvektors einer bestimmten Linie durch Parameter auszudrücken und die entsprechenden Koordinaten des Richtungsvektors der gewünschten Linie zu finden. Dann brauchen Sie

***

1. Sehr praktisches und verständliches Aufgabenformat.
2. Eine große Anzahl von Aufgaben ermöglicht ein langes Üben.
3. Lösungen zu allen Problemen werden von ausführlichen Erläuterungen begleitet.
4. Die Aufgaben sind gut strukturiert und in Abschnitte unterteilt, was die Arbeit erleichtert.
5. Viele verschiedene Arten von Aufgaben helfen, den Stoff in der Praxis zu vertiefen.
6. Die Komplexität der Aufgaben nimmt nach und nach zu, was zur Verbesserung Ihrer Fähigkeiten beiträgt.
7. Die Qualität der Materialien ist sehr hoch und relevant.
8. Das Programm deckt alle notwendigen Themen und Abschnitte ab, um die Prüfung erfolgreich zu bestehen.
9. Ich empfehle dieses digitale Produkt allen Studierenden, die sich auf das IPD vorbereiten.
10. Das digitale Produkt IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 ist ein hervorragendes Werkzeug zum Selbststudium und zur Steigerung des Wissensstandes.

Besonderheiten:

Ein sehr praktisches und verständliches Format zur Präsentation von Material.

Alle Aufgaben sind mit detaillierten Lösungen und Erklärungen versehen.

Hervorragende Vorbereitung auf die Informatikprüfung.

Ich empfehle es jedem, der das IDZ in Informatik erfolgreich absolvieren möchte.

Eine ausgezeichnete Wahl für diejenigen, die ihr Wissen im Bereich Informatik erweitern möchten.

Eine Vielzahl von Aufgaben ermöglicht es Ihnen, den Stoff in der Praxis zu festigen.

Gutes Preis-Leistungs-Verhältnis.