IDZ 10.2 – Option 1. Lösungen Ryabushko A.P.

1. Finden wir die Gleichungen der Tangentenebene und der Normalen zur Oberfläche S am Punkt M0(2, 1, –1).

Wir suchen den Gradienten der Oberfläche S: grad(S) = (2x-4, 2y, 2z+6). Am Punkt M0(2, 1, –1) gilt: grad(S) = (0, 2, 4). Da die Tangentenebene an die Oberfläche S am Punkt M0 parallel zum Gradienten der Oberfläche verläuft, hat die Gleichung der Tangentenebene die Form: 0(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, also y + 2z - 1 = 0. Die Gleichung der Normalen zur Oberfläche S am Punkt M0 hat die Form: 2(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, also x + y + 2z – 8 = 0.

1. Finden wir die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion z=ex2-y2 und stellen wir sicher, dass z''xy = z''yx.

Wir berechnen die ersten partiellen Ableitungen: z'x=2xe^(x^2-y^2), z'y=-2ye^(x^2-y^2). Als nächstes finden wir die zweiten partiellen Ableitungen: z''xy=2e^(x^2-y^2)-4x^2e^(x^2-y^2), z''yx=2e^(x^2 -y ^2)-4y^2e^(x^2-y^2). Beachten Sie, dass z''xy = z''yx ist, was bedeutet, dass die Funktion z=ex2-y2 die Bedingung der Gleichheit gemischter Ableitungen erfüllt.

1. Überprüfen wir, ob die Funktion u(x,y,z) = 2x^2+3y^2+z^2-4xy-6xz+8yz die Laplace-Gleichung erfüllt.

Berechnen wir Laplace aus der Funktion u(x,y,z): Δu = u''xx + u''yy + u''zz = 4 + 6 + 2 = 12. Da Δu also nicht gleich Null ist die Funktion u(x ,y,z) erfüllt die Laplace-Gleichung nicht.

1. Untersuchen wir die Funktion z=y√x – 2y^2 – x + 14y für ein Extremum.

Wir berechnen die partiellen Ableitungen: z'x= y/(2√x) - 1, z'y= √x - 4y + 14. Finden Sie die stationären Punkte: z'x=0 => y/(2√x) = 1 = > y=2√x, z'y=0 => √x - 4y + 14 = 0 => √x - 8√x + 14 = 0 => x = 4, y = 4. Überprüfen Sie das Ausreichende Bedingungen für das Extremum: z ''xx= -y/(4x^(3/2)) 0. Da z''xx

1. Suchen wir den größten und kleinsten Wert der Funktion z=3x+y-xy im Bereich D, begrenzt durch die Linien y=x, y=4, x=0.

Wir drücken y durch x in der Gleichung y=4 aus: y=4. Setze y=x in die Funktion z=3x+y-xy ein: z=4x-2x^2. Wir berechnen die Ableitungen: z'x=4-4x, z''xx=-4. Finden Sie den kritischen Punkt: z'x=0 => x=1, dann y=1. Wir prüfen die hinreichenden Bedingungen für das Extremum: z''xx=-4

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IDZ 10.2 – Option 1. Lösungen Ryabushko A.P. ist eine Reihe von Problemen in der mathematischen Analyse, die die folgenden Aufgaben umfassen:

1. Es ist notwendig, die Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen zu einer gegebenen Oberfläche S am Punkt M0(x0, y0, z0) zu finden. Die Oberfläche S ist durch die Gleichung x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0 gegeben, und der Punkt M0 hat die Koordinaten (2, 1, – 1).

2. Es ist notwendig, die zweiten partiellen Ableitungen der angegebenen Funktionen zu finden und zu überprüfen, dass z''xy = z''yx. Die Funktion z(x,y) ist durch die Gleichung z = ex2-y2 gegeben.

3. Es muss überprüft werden, ob die Funktion u die angegebene Gleichung erfüllt.

4. Es ist notwendig, die Funktion z(x,y) = y√x – 2y2 – x + 14y auf ihr Extremum zu untersuchen.

5. Es ist notwendig, den größten und kleinsten Wert der Funktion z(x,y) = 3x + y – xy im Bereich D zu finden, begrenzt durch die gegebenen Linien y = x, y = 4, x = 0.

Die Aufgabenstellung wird in Microsoft Word 2003 mit dem Formeleditor erstellt. Problemlösungen werden detailliert dargestellt.

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