IDZ Ryabushko 4.1 Option 5

Nr. 1. Nachfolgend sind die kanonischen Gleichungen für Ellipse, Hyperbel und Parabel aufgeführt:

• ?lipse: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, wobei (x₀, y₀) die Koordinaten des Mittelpunkts sind, a und b die großen Halb- bzw. Nebenachsen sind, a > b.
• Hyperbel: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, wobei (x₀, y₀) die Koordinaten des Mittelpunkts sind, a und b der Abstand vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten und der Abstand sind jeweils vom Zentrum zu den Asymptoten.
• Parabel: y = a(x - x₀)² + y₀, wobei (x₀, y₀) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind, a der Parameter der Parabel.

Nr. 2. Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt A(x₀, y₀) und Radius r hat die Form: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Um die Gleichung eines Kreises zu schreiben, der durch die Punkte A und B verläuft und dessen Mittelpunkt im Punkt A liegt, müssen wir zunächst den Radius ermitteln. Dazu können Sie den Abstand zwischen den Punkten A und B ermitteln und ihn dann in zwei Hälften teilen, da der Mittelpunkt des Kreises in der Mitte des Segments AB liegt. Somit ist der Radius r = AB / 2. Setzen Sie diesen Wert in die Kreisgleichung ein und erhalten Sie: (x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)².

Nr. 3. Die in der Aufgabe angegebene Bedingung bedeutet, dass der Punkt M auf der Mittelsenkrechten des Segments AB liegt. Um eine Gleichung für diese Winkelhalbierende zu erstellen, müssen wir ihre Koordinaten finden. Dies kann mit der Formel für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Linie erfolgen. Der Abstand von einem Punkt M zu einer Geraden AB kann mit der Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden in Koordinatenform ermittelt werden. Wir haben dann zwei Gleichungen, die den Abständen von Punkt M zu den Punkten A und B entsprechen, und können ihre Summe aufschreiben und sie gleich 28 setzen. Dies wird uns die Gleichung der Winkelhalbierenden geben, die die Gleichung der Geraden sein wird wir suchen.

Nummer 4. Um eine Kurve in Polarkoordinaten zu zeichnen, müssen Sie sie unter Verwendung der Winkel- und Radiuswerte zeichnen. Die Gleichung ρ = 2 / (1 + cosφ) beschreibt eine Kurve, die symmetrisch zur x-Achse ist und durch den Ursprung verläuft. Um einen Graphen zu erstellen, können Sie mehrere Punkte mit unterschiedlichen Werten des Winkels φ und des Radius ρ zeichnen und diese dann mit einer Linie verbinden. Sie können auch ein Diagrammprogramm verwenden.

Nr. 5. Die durch die parametrischen Gleichungen x = f(t) und y = g(t) definierte Kurve wird durch Punkte (x, y) beschrieben, die vom Parameter t abhängen. Um eine Kurve zu konstruieren, ist es notwendig, ihren Graphen mit Werten des t-Parameters im Bereich von 0 bis 2π zu zeichnen. Dazu können Sie mehrere Punkte mit unterschiedlichen t-Werten einzeichnen und diese dann mit einer Linie verbinden. Wenn wir beispielsweise die parametrischen Gleichungen x = cos(t) und y = sin(t) haben, können wir einen Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt im Ursprung grafisch darstellen. Dazu können Sie mehrere Werte von t auswählen, zum Beispiel t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π usw., die entsprechenden Werte von x und y berechnen und grafisch darstellen Punkte mit diesen Koordinaten auf der Koordinatenebene. Diese Punkte können dann mit einer Linie verbunden werden, um ein Kreisdiagramm zu erstellen.

IDZ Ryabushko 4.1 Option 5

a) Die kanonische Gleichung einer Ellipse hat die Form: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, Dabei sind (x₀, y₀) die Koordinaten des Mittelpunkts, a und b die große bzw. kleine Halbachse, a > b.

Für eine gegebene Ellipse ist bekannt, dass 2a = 22, was a = 11 bedeutet. Die Exzentrizität ε = √57/11 ist ebenfalls bekannt. Die kleine Halbachse b kann durch die Formel b = a * √(1 - ε²) ermittelt werden, d. h. b = 2√2.

Die Koordinaten der Brennpunkte können mit der Formel c = a * ε ermittelt werden. Das bedeutet c = √57. Die Fokuskoordinaten sind (x₀ + c, y₀) und (x₀ - c, y₀), wobei x₀ und y₀ die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse sind.

b) Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, Dabei sind (x₀, y₀) die Koordinaten des Mittelpunkts, a und b der Abstand vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten bzw. der Abstand vom Mittelpunkt zu den Asymptoten.

Für eine gegebene Hyperbel ist bekannt, dass 2c - Brennweite = 10√13, also c = 5√13. Es ist auch bekannt, dass die Gleichung der Hyperbelasymptoten die Form y = ± kx hat, wobei k = 2/3.

Der Abstand vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten a kann mit der Formel a² = c² + b² ermittelt werden. Das bedeutet a = √(c² + b²) = √(194/3).

c) Die kanonische Gleichung einer Parabel hat die Form: y = a(x - x₀)² + y₀, wobei (x₀, y₀) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind und a der Parameter der Parabel ist.

Für eine gegebene Parabel sind die Symmetrieachse Ox und die Koordinate des Scheitelpunkts A(27;9) bekannt, was bedeutet, dass die Gleichung wie folgt aussieht: y = a(x - 27)² + 9.

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt A(x₀, y₀) und Radius r hat die Form: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

Die Brennpunkte der Ellipse 9x² + 25y² = 1 haben Koordinaten (0, ±2/5). Der Mittelpunkt des Kreises verläuft durch die Mitte des Segments zwischen A(0,6) und (0,-2/5), also durch den Punkt (0, 59/50). Der Radius des Kreises ist gleich dem halben Abstand zwischen A und (0,59/50), also r = √(6,25 + (59/50)² - 6) / 2.

Somit lautet die Gleichung eines Kreises: (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6,25 + (59/50)² - 6)) / 2)².

Die Bedingung bedeutet, dass der Punkt M auf der Mittelsenkrechten des Segments AB liegt. Der Abstand vom Punkt M zur Geraden AB lässt sich mit der Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden im Koordinatensystem ermitteln:

d = |(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂| / √((y₂ - y₁)² + (x₁ - x₂)²),

wobei (x₁, y₁) und (x₂, y₂) die Koordinaten der Punkte A bzw. B sind.

Wenn Sie die Koordinaten der Punkte A(4, 2) und B(-2, 6) kennen, können Sie die Gleichung der Geraden AB finden: y = -x/2 + 5.

Da Punkt M auf der Mittelsenkrechten des Segments AB liegt, beträgt der Winkel AMB 90 Grad, was bedeutet, dass Punkt M auf der Mittelsenkrechten des Segments AB liegt. Dies bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes M gleich sind:

x = (x₁ + x₂) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y₁ + y₂) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

Somit sind die Koordinaten des Punktes M (1, 4).

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IDZ Ryabushko 4.1 Option 5 ist eine Reihe von Problemen in der Mathematik, die Aufgaben zum Aufstellen kanonischer Gleichungen und Geradengleichungen, zum Konstruieren von Kurven in polaren und parametrischen Koordinatensystemen sowie eine Aufgabe zum Finden der Kreisgleichung umfasst.

Nr. 1. Für dieses Problem müssen Sie kanonische Gleichungen für eine Ellipse, eine Hyperbel und eine Parabel aufstellen, die auf verschiedene Arten definiert sind. Dazu müssen Sie bekannte Formeln und Daten aus der Problemstellung verwenden.

Nr. 2. Bei dieser Aufgabe müssen Sie die Gleichung eines Kreises mit einem bestimmten Mittelpunkt aufschreiben, der durch bestimmte Punkte verläuft. Dazu können Sie die Standardformel für die Kreisgleichung verwenden, die die Koordinaten des Mittelpunkts und des Kreisradius mit den Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis verbindet.

Nr. 3. Bei diesem Problem müssen Sie eine Gleichung für eine Linie erstellen, die bestimmte Bedingungen erfüllt. Dazu können Sie bekannte Formeln für den Abstand eines Punktes zu einer Linie verwenden und die Methoden der Algebra und Geometrie anwenden, um die Gleichung der Linie zu finden.

Nummer 4. Bei diesem Problem müssen Sie eine Kurve konstruieren, die in einem Polarkoordinatensystem definiert ist. Dazu können Sie bekannte Formeln zur Umrechnung von Koordinaten von einem Polar- in ein kartesisches Koordinatensystem verwenden und einen Graphen einer in kartesischen Koordinaten angegebenen Funktion erstellen.

Nr. 5. Bei diesem Problem müssen Sie eine durch parametrische Gleichungen gegebene Kurve konstruieren. Dazu können Sie die Methoden der analytischen Geometrie nutzen und einen Graphen einer in parametrischer Form angegebenen Funktion erstellen.

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