Wasserstoff mit einem Gewicht von m=40 g und einer Temperatur T=300 K

Es gibt Wasserstoff mit einer Masse von m=40 g, der eine Temperatur von T=300 K hatte. Das Gas expandierte adiabatisch und vergrößerte das Volumen um das n1=3-fache. Dann wurde das Gas isotherm auf sein Volumen komprimiert, wodurch es um das n2=2-fache reduziert wurde. Es ist notwendig, die vom Gas geleistete Gesamtarbeit A und seine Endtemperatur T zu bestimmen.

Antwort:

Lassen Sie uns zunächst den anfänglichen Gasdruck ermitteln. Dazu verwenden wir die Zustandsgleichung eines idealen Gases:

pV = nRT,

Dabei ist p der Gasdruck, V sein Volumen, n die Menge der Gassubstanz, R die universelle Gaskonstante und T die Gastemperatur.

Die Stoffmenge eines Gases lässt sich ermitteln, indem man die Masse durch die Molmasse dividiert:

n = m/M,

wobei M die Molmasse des Gases ist. Für Wasserstoff ist M = 2 g/mol.

Dann ist der anfängliche Gasdruck:

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa .

Als nächstes werden wir die Arbeit ermitteln, die das Gas während der adiabatischen Expansion verrichtet. Da der Prozess adiabatisch ist, ist Q = 0 und der erste Hauptsatz der Thermodynamik hat die Form:

dU = -pdV,

Dabei ist dU die Änderung der inneren Energie des Gases, p und V der Druck bzw. das Volumen des Gases.

Da der Prozess adiabatisch ist, gilt dU = Lebenslauf*dT, wobei Cv die Wärmekapazität des Gases bei konstantem Volumen ist.

Dann:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

Wenn wir diesen Ausdruck von der Anfangstemperatur und dem Anfangsvolumen bis zu den Endwerten integrieren, erhalten wir:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

Dabei ist T2 die Endtemperatur des Gases und V2 sein Volumen nach der adiabatischen Expansion.

Die Wärmekapazität eines Gases bei konstantem Volumen kann aus der Beziehung ermittelt werden:

Cp - Cv = R,

Dabei ist Cp die Wärmekapazität von Gas bei konstantem Druck. Für ein ideales Gas ist Cp = Cv + R.

Dann:

Cv = Cp – R = 7/2 R.

Nach der adiabatischen Expansion wurde das Gasvolumen n1 = dreimal größer als das Anfangsvolumen, dann das Endvolumen:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Wenn wir dann alle bekannten Werte in die Formel für ln(T2/T1) einsetzen, ermitteln wir die endgültige Gastemperatur:

T2 = T1 * (V1/V2)^((7/2)R) = 300 Š * (1/3)^((7/2)*8,31/1000) = 219,6 Š.

Als nächstes ermitteln wir die Arbeit, die ein Gas unter isothermer Kompression verrichtet. Da der Prozess isotherm ist, gilt T = const und der erste Hauptsatz der Thermodynamik hat die Form:

dU = -pdV + Q = -pdV,

Dabei ist Q die vom Gas aufgenommene bzw. abgegebene Wärme.

Wenn wir diesen Ausdruck vom Endvolumen zum Anfangsvolumen integrieren, erhalten wir:

W = -∫p2^1 V dV,

wobei p2 der endgültige Gasdruck nach der Kompression ist.

Mithilfe der Zustandsgleichung eines idealen Gases und der Bedingung des isothermen Prozesses ermitteln wir den endgültigen Gasdruck:

p2 = p1 * (V1/V2) = p1 * (n1/n2),

wobei n2 die Endmenge der Gassubstanz nach der Kompression ist.

Dann ist die Arbeit von Gas unter isothermer Kompression:

W = -∫p2^1 V dV = -∫(p1 * (n1/n2))^p1 (n2/n1 * V1)^2/3 d((n2/n1 * V1)^2/3) = - p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

wobei wir die Beziehung zwischen V und n für ein ideales Gas in einem isothermen Prozess verwendet haben: nV = const.

Dann beträgt die vom Gas geleistete Gesamtarbeit:

A = W1 + W2 = -p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

Dabei ist W1 die Arbeit, die das Gas während der adiabatischen Expansion verrichtet, und W2 die Arbeit, die das Gas während der isothermen Kompression verrichtet.

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir:

A = -4,99 * 10^5 Pa * 1 l * (3/2) * [(2/3)^2/3 - 1] = 5,02 * 10^4 J.

Und natürlich beträgt die endgültige Gastemperatur nach Durchlaufen beider Prozesse T2 = 219,6 K.

Damit haben wir die Gesamtarbeit des Gases und seine Endtemperatur nach adiabatischer Expansion und isothermer Kompression ermittelt.

Produktbeschreibung:

Der digitale Warenladen präsentiert ein digitales Produkt – Berechnungsmaterial für ein Problem zum Thema Thermodynamik.

Dieses Material untersucht den Prozess der adiabatischen Expansion und isothermen Kompression von Wasserstoff mit einer Masse von m = 40 g, der eine Anfangstemperatur von T = 300 K hatte.

Das Berechnungsmaterial enthält eine detaillierte Beschreibung der Bedingungen der Aufgabe, der verwendeten Formeln und Gesetze, die Herleitung der Berechnungsformel und Antworten auf die in der Aufgabe gestellten Fragen.

Produktbeschreibung: Der digitale Warenladen stellt Berechnungsmaterial zu einem Problem zum Thema Thermodynamik bereit. Dieses Material untersucht den Prozess der adiabatischen Expansion und isothermen Kompression von Wasserstoff mit einer Masse von m = 40 g, der eine Anfangstemperatur von T = 300 K hatte. Das Berechnungsmaterial enthält eine detaillierte Beschreibung der Bedingungen des Problems, der Formeln und verwendete Gesetze, die Herleitung der Berechnungsformel und Antworten auf die in der Aufgabe gestellten Fragen.

Aufgabe: Wasserstoff mit einer Masse von m = 40 g, der eine Temperatur von T = 300 K hatte, expandierte adiabatisch und vergrößerte sein Volumen um das n1 = 3-fache. Während der isothermen Kompression verringerte sich dann das Gasvolumen um das n2=2-fache. Bestimmen Sie die vom Gas geleistete Gesamtarbeit A und die Endtemperatur T des Gases. Problem 20046.

Lösung: Lassen Sie uns zunächst den anfänglichen Gasdruck ermitteln. Dazu verwenden wir die Zustandsgleichung eines idealen Gases:

pV = nRT,

Dabei ist p der Gasdruck, V sein Volumen, n die Menge der Gassubstanz, R die universelle Gaskonstante und T die Gastemperatur.

Die Stoffmenge eines Gases lässt sich ermitteln, indem man die Masse durch die Molmasse dividiert:

n = m/M,

wobei M die Molmasse des Gases ist. Für Wasserstoff ist M = 2 g/mol.

Dann ist der anfängliche Gasdruck:

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa .

Als nächstes werden wir die Arbeit ermitteln, die das Gas während der adiabatischen Expansion verrichtet. Da der Prozess adiabatisch ist, ist Q = 0 und der erste Hauptsatz der Thermodynamik hat die Form:

dU = -pdV,

Dabei ist dU die Änderung der inneren Energie des Gases, p und V der Druck bzw. das Volumen des Gases.

Da der Prozess adiabatisch ist, gilt dU = Cv*dT, wobei Cv die Wärmekapazität des Gases bei konstantem Volumen ist.

Dann:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

Wenn wir diesen Ausdruck von der Anfangstemperatur und dem Anfangsvolumen bis zu den Endwerten integrieren, erhalten wir:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

Dabei ist T2 die Endtemperatur des Gases und V2 sein Volumen nach der adiabatischen Expansion.

Die Wärmekapazität eines Gases bei konstantem Volumen kann aus der Beziehung ermittelt werden:

Cp - Cv = R,

Dabei ist Cp die Wärmekapazität von Gas bei konstantem Druck. Für ein ideales Gas ist Cp = Cv + R.

Dann:

Cv = Cp – R = 7/2 R.

Nach der adiabatischen Expansion wurde das Gasvolumen n1 = dreimal größer als das Anfangsvolumen, dann das Endvolumen:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Wenn wir dann alle bekannten Werte in die Formel für ln(T2/T1) einsetzen, ermitteln wir die endgültige Gastemperatur:

ln(T2/T1) = -ln(3) * (7/2) = -2.303 * (7/2) = -8.058,

T2/T1 = e^(-8,058) = 0,000329,

T2 = T1 * 0,000329 = 300 K * 0,000329 = 0,0987 K.

Lassen Sie uns nun die Arbeit ermitteln, die ein Gas unter isothermer Kompression verrichtet. Da der Prozess isotherm ist, gilt T = const und der erste Hauptsatz der Thermodynamik hat die Form:

dU = Q - pdV,

Dabei ist Q die auf das Gas übertragene Wärme und dU die Änderung der inneren Energie des Gases.

Da der Prozess isotherm ist, ist T = const, also Q = W, d. h. die vom Gas geleistete Arbeit ist gleich der auf das Gas übertragenen Wärme.

Dann:

W = Q = nRT * ln(V1/V2),

Dabei sind V1 und V2 das Anfangs- bzw. Endvolumen des Gases.

Nach der adiabatischen Expansion wurde das Gasvolumen n1 = 3-mal größer als das anfängliche Volumen, und dann, während der isothermen Kompression, verringerte sich das Gasvolumen um n2 = 2-mal. Dann ist das endgültige Gasvolumen:

V2 = V1 * (1/n2) = V1/2.

Dann funktioniert das Gas:

W = nRT * ln(V1/(V1/2)) = nRT * ln(2) = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K * ln( 2) = -4986,54 J.

Antworten auf die im Problem gestellten Fragen:

Die Gesamtarbeit, die ein Gas während der adiabatischen Expansion und isothermen Kompression verrichtet, beträgt W = -4986,54 J.

Die Endtemperatur des Gases nach adiabatischer Expansion und isothermer Kompression beträgt T2 = 0,0987 K.

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Waren Beschreibung:

Bei diesem Produkt handelt es sich um eine Wasserstoffprobe mit einem Gewicht von m=40 g und einer Temperatur von T=300 K. Anschließend wurde das Gas adiabatisch expandiert, wodurch sich das Volumen um das n1=3-fache erhöhte. Dann kam es zu einer isothermen Kompression des Gases, wodurch sich das Volumen um das n2=2-fache verringerte.

Um die vom Gas geleistete Gesamtarbeit A und die Endtemperatur T des Gases zu bestimmen, können Sie die Mayer-Gleichung verwenden:

A = C_v * (T_2 – T_1) + C_p * (T_2 – T_1)

Dabei sind C_v und C_p die spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Volumen bzw. konstantem Druck, T_1 und T_2 die Anfangs- und Endtemperaturen des Gases.

Für Wasserstoff können spezifische Wärmekapazitäten mit den Formeln berechnet werden:

C_v = (3/2) * R C_p = (5/2) * R

wobei R die universelle Gaskonstante ist.

Somit ist die Gesamtarbeit A gleich:

A = (3/2) * R * (T_2 – T_1) + (5/2) * R * (T_2 – T_1)

Um die endgültige Gastemperatur T zu bestimmen, kann die folgende Beziehung verwendet werden:

T_2 = T_1 * (n1/n2)^((C_p - C_v)/C_p)

Dabei sind n1 und n2 die Änderungskoeffizienten des Gasvolumens bei adiabatischer Expansion bzw. isothermer Kompression.

Wenn wir die Daten aus der Problemstellung ersetzen, erhalten wir:

T_2 = 300 * (3/2)^((5/2 - 3/2)/(5/2)) * (1/2) = 150 K

A = (3/2) * R * (150 - 300) + (5/2) * R * (150 - 300) = -600 R Ä

Somit beträgt die vom Gas geleistete Gesamtarbeit -600 R J und die Endtemperatur des Gases beträgt 150 K.

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