Das Rad besteht aus einem dünnen Reifen mit einem Gewicht von 2 kg und drei

Das Rad besteht aus einem dünnen Reifen mit einem Gewicht von 2 kg und drei Speichen mit einer Länge von 20 cm und einem Gewicht von jeweils 0,5 kg. Auf die Felge wird eine tangential zur Felge gerichtete Kraft von 5 N ausgeübt. Es ist notwendig, das Trägheitsmoment des Reifens, das Trägheitsmoment des gesamten Rades, seine Winkelbeschleunigung und seine kinetische Energie 2 s nach Beginn der Drehung zu ermitteln.

Berechnen wir zunächst das Trägheitsmoment des Reifens. Es wird durch die Formel bestimmt:

$I_{\text{arr}} = \frac{mR^2}{2}$,

Dabei ist $m$ die Masse des Reifens und $R$ der Radius des Reifens.

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir:

$I_{\text{обр}} = \frac{2 \cdot 0,2^2}{2} = 0,04\text{ кг}\cdot\text{м}^2$.

Um das Trägheitsmoment des gesamten Rades zu berechnen, müssen Sie die Trägheitsmomente des Reifens und der drei Speichen berücksichtigen. Das Trägheitsmoment jeder Speiche kann mit der Formel berechnet werden:

$I_{\text{Speichen}} = \frac{mL^2}{12}$,

wobei $L$ die Länge der Speiche ist.

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir:

$I_{\text{Stricknadeln}} = \frac{0,5 \cdot 0,2^2}{12} = 0,0017\text{ kg}\cdot\text{m}^2$.

Da das Rad drei Speichen hat, ist das Trägheitsmoment aller Speichen gleich:

$I_{\text{alle Stricknadeln}} = 3 \cdot I_{\text{Stricknadeln}} = 0,0051\text{ kg}\cdot\text{m}^2$.

Dann ist das Trägheitsmoment des gesamten Rades gleich:

$I_{\text{alle Räder}} = I_{\text{arr}} + I_{\text{alle Speichen}} = 0,04\text{ kg}\cdot\text{m}^2 + 0, 0051\ text{ kg}\cdot\text{m}^2 = 0,0451\text{ kg}\cdot\text{m}^2$.

Die Winkelbeschleunigung des Rades lässt sich mit der Formel ermitteln:

$\tau = I \alpha$,

Dabei ist $I$ das Trägheitsmoment, $\tau$ das Kraftmoment und $\alpha$ die Winkelbeschleunigung.

Das auf das Rad wirkende Kraftmoment ist gleich der Kraft multipliziert mit dem Radradius:

$\tau = FR$.

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen und die Gleichung nach $\alpha$ auflösen, erhalten wir:

$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{FR}{I} = \frac{5\text{ Н} \cdot 0,2\text{ м}}{0,0451\text{ кг}\cdot\text{м}^2} \ approx 22,2\text{ рад/с}^2$.

Die kinetische Energie eines rotierenden Rades lässt sich nach folgender Formel berechnen:

$K = \frac{1}{2}I\omega^2$,

wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit des Rades ist.

In 2 Sekunden führt die Winkelbeschleunigung zur Winkelgeschwindigkeit:

$\omega = \alpha t = 22,2\text{ rad/s}^2 \cdot 2\text{ s} = 44,4\text{ rad/s}$.

Dann beträgt die kinetische Energie des Rades 2 s nach Beginn der Drehung:

$K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,0451\text{ кг}\cdot\text{м}^2 \cdot (44,4 \text{ рад/с})^2 \ approx 43,7\text{ ÔÖ}$.

So haben wir das Trägheitsmoment des Reifens, das Trägheitsmoment des gesamten Rades, seine Winkelbeschleunigung und kinetische Energie 2 s nach Beginn der Drehung ermittelt, wenn eine Kraft von 5 N ausgeübt wird, die tangential zur Radfelge gerichtet ist .

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In dieser Aufgabe müssen Sie das Trägheitsmoment und die Winkelbeschleunigung eines Rades berechnen, das aus einem dünnen Reifen mit einem Gewicht von 2 kg und drei Speichen mit einer Länge von 20 cm und einem Gewicht von jeweils 0,5 kg besteht. In diesem Fall wird eine Kraft von 5 N tangential auf die Felge ausgeübt.

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Gegeben: Reifenmasse m₁ = 2 kg; Speichenmasse m₂ = 0,5 kg; Stricknadellänge l = 20 cm = 0,2 m; Auf die Felge ausgeübte Kraft F = 5 N; Zeit t = 2 s.

Ermitteln wir das Trägheitsmoment des Reifens: I₁ = (m₁r²)/2, wobei r der Radius des Reifens ist.

Da das Rad dünn ist, lässt sich der Radius aus der Länge der Speichen ermitteln: 2πr = 3l, woraus r = 3l/(2π) = 0,03 m.

Dann beträgt das Trägheitsmoment des Reifens: I₁ = (m₁r²)/2 = (2 * 0,03²) / 2 = 0,0009 kg m².

Ermitteln wir das Trägheitsmoment des gesamten Rades: I = I₁ + ΣI₂, wobei ΣI₂ das Trägheitsmoment aller drei Speichen ist.

Das Trägheitsmoment der Speichen lässt sich mit der Formel ermitteln: I₂ = (m₂l²)/12 + (m₂r²)/4, Dabei ist der erste Term das Trägheitsmoment der Speichen relativ zu ihren Massenschwerpunkten und der zweite das Trägheitsmoment der Speichen relativ zur Drehachse (dem Mittelpunkt des Reifens).

Die Masse einer Stricknadel ist halb so groß wie die Masse des Reifens, also m₂ = 0,5 kg.

Dann beträgt das Trägheitsmoment jeder Speiche: I₂ = (0,5 * 0,2²)/12 + (0,5 * 0,03²)/4 = 0,000025 kg m².

Und das Trägheitsmoment des gesamten Rades: I = I₁ + ΣI₂ = 0,0009 + 3 * 0,000025 = 0,000975 kg m².

Ermitteln wir die Winkelbeschleunigung des Rades: τ = Fr, wobei τ das Kraftmoment und r der Radradius ist.

Da die Kraft auf die Felge wirkt, ist r = 0,03 m.

Dann ist das Kraftmoment: τ = Fr = 5 * 0,03 = 0,15 N·m.

Die Winkelbeschleunigung des Rades beträgt: α = τ/I = 0,15/0,000975 = 153,85 rad/s².

Ermitteln wir die kinetische Energie des Rades 2 s nach Beginn der Drehung: E = (Iω²)/2, wobei ω die Winkelgeschwindigkeit des Rades ist.

Die Winkelgeschwindigkeit des Rades beträgt 2 s nach Beginn der Drehung: ω = αt = 153,85 * 2 = 307,7 rad/s.

Dann beträgt die kinetische Energie des Rades: E = (Iω²)/2 = (0,000975 * 307,7²) / 2 = 45,36 J.

Antwort: Trägheitsmoment des Reifens I₁ = 0,0009 kg m²; Trägheitsmoment des gesamten Rades I = 0,000975 kg m²; Winkelbeschleunigung des Rades α = 153,85 rad/s²; kinetische Energie des Rades 2 s nach Beginn der Drehung E = 45,36 J.

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