里亚布什科 A.P. IDZ 6.2 版本 11

IDZ-6.2

以下是挑战和解决方案：

№ 1.11

已知： y = eʸ+ 4x

求 y´ 和 y" 的导数。

回答：

让我们应用对复杂函数进行微分的规则：

y´ = (eʸ+ 4x)´ = (y´eʸ+ 4) = eʸ+ 4

让我们对结果表达式进行微分：

y" = (eʸ+ 4)´ = y"eʸ

№ 2.11

给定：x = eᵗ cos t； y = eᵗ sin t

求 y´ 和 y" 的导数。

回答：

让我们求 x 和 y 的导数：

x´ = eᵗ cos t - eᵗ sin t

y´ = eᵗ cos t + eᵗ sin t

让我们对结果表达式进行微分：

x" = eᵗ cos t - 2eᵗ sin t

y" = eᵗ cos t + 2eᵗ sin t

№ 3.11

希望： y = arcsin x； x0 = 0

求三阶导数 y‴(x0)。

回答：

让我们对函数 y 进行微分：

y´ = 1/√(1-x²)

让我们对结果表达式进行微分：

y" = x/((1-x²)^(3/2))

我们再区分一下：

y‴ = (1-x² - 2x²)/((1-x²)^(5/2))

我设置x0 = 0：

y‴(0) = -2/√1 = -2

№ 4.11

希望：y = 1/(x-3)

写出 n 阶导数的公式。

回答：

让我们将莱布尼茨规则应用于乘积的导数：

y⁽ⁿ⁾ = ((-1)ⁿn!)/(x-3)^(n+1)

№ 5.11

给定：y = x²/4 – 27x + 60； x = 2

求横坐标 x = 2 处的曲线法线方程。

回答：

让我们求出函数 y 在点 x = 2 处的值：

y(2) = 2²/4 - 27·2 + 60 = -46

让我们求函数在 x = 2 处的导数值：

y´(2) = 2/2 - 27 = -26

点 (2, -46) 处曲线的法线方程具有以下形式：

y + 46 = (-1/(-26))(x - 2)

让我们简化一下：

y = (-13x/13) - 11

№ 6.11

给定：S = 5t³/3 - t²/2 + 7

求质点速度为 42 m/s 时的时间。

回答：

让我们求 S 对时间的导数：

v = S´ = 5t² - t

要找到速度为 42 m/s 时的时间，请求解方程：

42 = 5t² - t

让我们将二次方程转化为一般形式：

5t² - t - 42 = 0

让我们使用判别式来解决它：

t = (-(-1) ± √((-1)² - 4·5·(-42)))/(2·5) = (1 ± √421)/10

由于我们要寻找时间，因此我们将选择正根：

t ≈ 1.796 秒

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