A continuación se detallan los desafíos y las soluciones:
Saber: y = eʸ+ 4x
Encuentra las derivadas de y´ e y".
Respuesta:
Apliquemos la regla para derivar una función compleja:
y´ = (eʸ+ 4x)´ = (y´eʸ+ 4) = eʸ+ 4
Diferenciamos la expresión resultante:
y" = (eʸ+ 4)´ = y"eʸ
Dado: x = eᵗ cos t; y = eᵗ sint
Encuentra las derivadas de y´ e y".
Respuesta:
Encontremos las derivadas de x e y:
x´ = eᵗ cos t - eᵗ sen t
y´ = eᵗ cos t + eᵗ sen t
Diferenciamos las expresiones resultantes:
x" = eᵗ cos t - 2eᵗ sin t
y" = eᵗ cos t + 2eᵗ sen t
Con suerte: y = arcosin x; x0 = 0
Encuentre la tercera derivada y‴(x0).
Respuesta:
Diferenciamos la función y:
y´ = 1/√(1-x²)
Diferenciamos la expresión resultante:
y" = x/((1-x²)^(3/2))
Diferenciamos nuevamente:
y‴ = (1-x² - 2x²)/((1-x²)^(5/2))
Puse x0 = 0:
y‴(0) = -2/√1 = -2
Con suerte: y = 1/(x-3)
Escribe la fórmula para la derivada de enésimo orden.
Respuesta:
Apliquemos la regla de Leibniz para la derivada de un producto:
y⁽ⁿ⁾ = ((-1)ⁿn!)/(x-3)^(n+1)
Dado: y = x²/4 – 27x + 60; x = 2
Encuentre la ecuación de la normal a la curva en el punto con abscisa x = 2.
Respuesta:
Encontremos el valor de la función y en el punto x = 2:
y(2) = 2²/4 - 27·2 + 60 = -46
Encontremos el valor de la derivada de la función en el punto x = 2:
y´(2) = 2/2 - 27 = -26
La ecuación de la normal a la curva en el punto (2, -46) tiene la forma:
y + 46 = (-1/(-26))(x - 2)
Simplifiquemos:
y = (-13x/13) - 11
Dado: S = 5t³/3 - t²/2 + 7
Encuentre el momento en que la velocidad del punto material es 42 m/s.
Respuesta:
Encontremos la derivada de S con respecto al tiempo:
v = S´ = 5t² - t
Para encontrar el tiempo cuando la velocidad es 42 m/s, resuelve la ecuación:
42 = 5t² - t
Llevemos la ecuación cuadrática a su forma general:
5t² - t - 42 = 0
Resolvámoslo usando la fórmula discriminante:
t = (-(-1) ± √((-1)² - 4·5·(-42)))/(2·5) = (1 ± √421)/10
Como buscamos tiempo, elegiremos una raíz positiva:
t ≈ 1,796 seg
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Solución al problema 13.7.7 de la colección de Kepe O.E. - 13.7.7 Скорость движения сосуда, наполненного водой, должна изменяться с ускорением, чтобы свободна ... ...