Ryabushko A.P. IDZ 6.2 versão 11

IDZ-6.2

Abaixo estão os desafios e soluções:

№ 1.11

Saiba: y = eʸ+ 4x

Encontre as derivadas de y´ e y".

Responder:

Vamos aplicar a regra para diferenciar uma função complexa:

y´ = (eʸ+ 4x)´ = (y´eʸ+ 4) = eʸ+ 4

Vamos diferenciar a expressão resultante:

y" = (eʸ+ 4)´ = y"eʸ

№ 2.11

Dado: x = eᵗ custo t; y = eᵗ sint

Encontre as derivadas de y´ e y".

Responder:

Vamos encontrar as derivadas de x e y:

x´ = eᵗ cos t - eᵗ sin t

y´ = eᵗ cos t + eᵗ sin t

Vamos diferenciar as expressões resultantes:

x" = eᵗ cos t - 2eᵗ sin t

y" = eᵗ cos t + 2eᵗ sin t

№ 3.11

Esperançosamente: y = arco seno x; x0 = 0

Encontre a terceira derivada y‴(x0).

Responder:

Vamos diferenciar a função y:

y´ = 1/√(1-x²)

Vamos diferenciar a expressão resultante:

y" = x/((1-x²)^(3/2))

Vamos diferenciar novamente:

y‴ = (1-x² - 2x²)/((1-x²)^(5/2))

Eu defino x0 = 0:

y‴(0) = -2/√1 = -2

№ 4.11

Esperançosamente: y = 1/(x-3)

Escreva a fórmula para a derivada de enésima ordem.

Responder:

Vamos aplicar a regra de Leibniz para a derivada de um produto:

y⁽ⁿ⁾ = ((-1)ⁿn!)/(x-3)^(n+1)

№ 5.11

Dado: y = x²/4 – 27x + 60; x = 2

Encontre a equação da normal à curva no ponto com abcissa x = 2.

Responder:

Vamos encontrar o valor da função y no ponto x = 2:

y(2) = 2²/4 - 27·2 + 60 = -46

Vamos encontrar o valor da derivada da função no ponto x = 2:

y´(2) = 2/2 - 27 = -26

A equação da normal à curva no ponto (2, -46) tem a forma:

y + 46 = (-1/(-26))(x - 2)

Vamos simplificar:

y = (-13x/13) - 11

№ 6.11

Dado: S = 5t³/3 - t²/2 + 7

Encontre o instante em que a velocidade do ponto material é 42 m/s.

Responder:

Vamos encontrar a derivada de S em relação ao tempo:

v = S´ = 5t² - t

Para encontrar o momento em que a velocidade é 42 m/s, resolva a equação:

42 = 5t² -t

Vamos trazer a equação quadrática à sua forma geral:

5t² - t - 42 = 0

Vamos resolvê-lo usando a fórmula discriminante:

t = (-(-1) ± √((-1)² - 4·5·(-42)))/(2·5) = (1 ± √421)/10

Como estamos procurando o tempo, escolheremos uma raiz positiva:

t ≈ 1,796 seg.

Ryabushko A.P. IDZ 6.2 versão 11

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