リャブシュコ A.P. IDZ 6.2 バージョン 11

IDZ-6.2

以下に課題と解決策を示します。

№ 1.11

知っていること: y = eʸ+ 4x

Y´ と y の導関数を求めます。」

答え：

複素関数を微分するためのルールを適用してみましょう。

y´ = (eʸ+ 4x)´ = (y´eʸ+ 4) = eʸ+ 4

結果の式を微分してみましょう。

y" = (eʸ+4)´ = y"eʸ

№ 2.11

与えられた場合: x = eᵗ cos t; y = eᵗ sin t

Y´ と y の導関数を求めます。」

答え：

X と y の導関数を求めてみましょう。

x´ = eᵗ cos t - eᵗ sin t

y´ = eᵗ cos t + eᵗ sin t

結果の式を微分してみましょう。

x" = eᵗ cos t - 2eᵗ sin t

y" = eᵗ cos t + 2eᵗ sin t

№ 3.11

うまくいけば: y = arcsin x; x0 = 0

3 次導関数 y‴(x0) を求めます。

答え：

関数 y を微分してみましょう。

y´ = 1/√(1-x²)

結果の式を微分してみましょう。

y" = x/((1-x²)^(3/2))

もう一度微分してみましょう:

y‴ = (1-x² - 2x²)/((1-x²)^(5/2))

X0 = 0 に設定します。

y‴(0) = -2/√1 = -2

№ 4.11

うまくいけば: y = 1/(x-3)

N次導関数の公式を書き留めます。

答え：

ライプニッツの規則を積の導関数に適用してみましょう。

y⁽ⁿ⁾ = ((-1)ⁿn!)/(x-3)^(n+1)

№ 5.11

与えられた場合: y = x²/4 – 27x + 60; x = 2

横軸 x = 2 の点における曲線の法線の方程式を求めます。

答え：

点 x = 2 における関数 y の値を求めてみましょう。

y(2) = 2²/4 - 27・2 + 60 = -46

点 x = 2 における関数の導関数の値を求めてみましょう。

y´(2) = 2/2 - 27 = -26

点 (2, -46) における曲線の法線の方程式は次の形式になります。

y + 46 = (-1/(-26))(x - 2)

単純化してみましょう:

y = (-13x/13) - 11

№ 6.11

与えられた場合: S = 5t³/3 - t²/2 + 7

質点の速度が42m/sになる時間を求めます。

答え：

時間に関する S の導関数を求めてみましょう。

v = S´ = 5t² - t

速度が 42 m/s の時間を求めるには、次の方程式を解きます。

42 = 5t² - t

二次方程式を一般的な形にしてみましょう。

5t² - t - 42 = 0

判別式を使って解いてみましょう。

t = (-(-1) ± √((-1)² - 4・5・(-42)))/(2・5) = (1 ± √421)/10

時間を探しているので、正のルートを選択します。

t ≈ 1.796 秒

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