Ryabushko A.P. IDZ 6.2 versione 11

IDZ-6.2

Di seguito sono elencate le sfide e le soluzioni:

№ 1.11

Conosci: y = eʸ+ 4x

Trovare le derivate di y´ e y".

Risposta:

Applichiamo la regola per differenziare una funzione complessa:

y´ = (eʸ+ 4x)´ = (y´eʸ+ 4) = eʸ+ 4

Differenziamo l'espressione risultante:

y" = (eʸ+ 4)´ = y"eʸ

№ 2.11

Dati: x = eᵗ cos t; y = eᵗ sint

Trovare le derivate di y´ e y".

Risposta:

Troviamo le derivate di x e y:

x´ = eᵗ cos t - eᵗ sin t

y´ = eᵗ cos t + eᵗ sin t

Differenziamo le espressioni risultanti:

x" = eᵗ cos t - 2eᵗ sin t

y" = eᵗ cos t + 2eᵗ sin t

№ 3.11

Si spera: y = arcosen x; x0 = 0

Trova la derivata terza y‴(x0).

Risposta:

Differenziamo la funzione y:

y´ = 1/√(1-x²)

Differenziamo l'espressione risultante:

y" = x/((1-x²)^(3/2))

Distinguiamo ancora:

y‴ = (1-x² - 2x²)/((1-x²)^(5/2))

Imposto x0 = 0:

y‴(0) = -2/√1 = -2

№ 4.11

Si spera: y = 1/(x-3)

Scrivi la formula per la derivata dell'ordine ennesimo.

Risposta:

Applichiamo la regola di Leibniz per la derivata di un prodotto:

y⁽ⁿ⁾ = ((-1)ⁿn!)/(x-3)^(n+1)

№ 5.11

Dato: y = x²/4 – 27x + 60; x = 2

Trova l'equazione della normale alla curva nel punto con ascissa x = 2.

Risposta:

Troviamo il valore della funzione y nel punto x = 2:

y(2) = 2²/4 - 27·2 + 60 = -46

Troviamo il valore della derivata della funzione nel punto x = 2:

y´(2) = 2/2 - 27 = -26

L'equazione della normale alla curva nel punto (2, -46) ha la forma:

y + 46 = (-1/(-26))(x - 2)

Semplifichiamo:

y = (-13x/13) - 11

№ 6.11

Dato: S = 5t³/3 - t²/2 + 7

Trovare il momento in cui la velocità del punto materiale è 42 m/s.

Risposta:

Troviamo la derivata di S rispetto al tempo:

v = S´ = 5t² - t

Per trovare l'istante in cui la velocità è 42 m/s, risolvi l'equazione:

42 = 5t² - t

Portiamo l'equazione quadratica alla sua forma generale:

5t² - t - 42 = 0

Risolviamolo utilizzando la formula discriminante:

t = (-(-1) ± √((-1)² - 4·5·(-42)))/(2·5) = (1 ± √421)/10

Dato che stiamo cercando il tempo, sceglieremo una radice positiva:

t ≈ 1.796 s

Ryabushko A.P. IDZ 6.2 versione 11

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