Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versione 17

N. 1.17. Dati quattro punti A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Componi le equazioni: a) piano A1A2A3; b) dritto A1A2; c) retta A4M, perpendicolare al piano A1A2A3; d) retta A3N parallela alla retta A1A2; e) un piano passante per il punto A4, perpendicolare alla retta A1A2. Calcolare: e) il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3; g) coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3; N. 2.17. Crea un'equazione per un piano passante per il punto M(1;-1;2) perpendicolare al segmento M1M2; se M1(2;3;-4); M2(-1;2;-3). N. 3.17. Mostra che la retta è parallela al piano x + 3y - 2z + 1 = 0; e retta x = t + 7; y = t - 2; z = 2t + 1 giace in questo piano. Grazie per il vostro acquisto. Se hai domande, scrivimi via e-mail (vedi "informazioni sul venditore").

N. 1.17. Per comporre le equazioni avrai bisogno delle seguenti formule:

• L'equazione di un piano in forma generale è: Ax + By + Cz + D = 0, dove A, B, C sono i coefficienti del piano che determinano il suo vettore normale, e D è il termine libero.
• Equazione di una retta in forma parametrica: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, dove (x0, y0, z0) sono le coordinate di un punto sulla retta, a, b, c sono i coefficienti direttivi della retta, parametro t.

a) Costruiamo i vettori A1A2 e A1A3, troviamo il loro prodotto vettoriale e otteniamo il vettore normale del piano. L'equazione generale del piano è: 6x - 9y - 6z + 63 = 0.

b) Trovare il vettore direzione della retta A1A2: (6-4, 6-9, 5-5) = (2, -3, 0). L'equazione di una retta in forma parametrica: x = 6 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

c) Troviamo il vettore direzione della retta A4M come prodotto vettoriale del vettore normale al piano A1A2A3 e del vettore A4M. Quindi comporremo l'equazione della retta in forma parametrica utilizzando il punto A4. Vettore di direzione: (-3, -3, -6). Equazione di una retta: x = 6 - 3t, y = 9 - 3t, z = 3 - 6t.

d) Poiché la retta A3N è parallela alla retta A1A2, il suo vettore direzione coinciderà con il vettore direzione della retta A1A2: (2, -3, 0). L'equazione di una retta in forma parametrica: x = 4 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

e) Trovare il vettore normale del piano passante per il punto A4 utilizzando il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A4. L'equazione generale del piano è: -3x - 6y + 9z + 45 = 0.

f) Trovare i vettori di direzione delle linee A1A4 e A1A2, calcolarne il prodotto scalare e le lunghezze utilizzando la formula |a||b|cos(angolo tra i vettori) = aB. Quindi troviamo il seno dell'angolo compreso tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3, utilizzando la formula sin(angolo) = |n(A1-A4)| / (|n|*|A1-A4|), dove n è il vettore normale del piano, A1-A4 è il vettore che collega i punti A1 e A4. Risultato: sin(angolo) = 2/3.

g) Trovare il vettore normale del piano A1A2A3 utilizzando il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3. Quindi troviamo il coseno dell'angolo compreso tra il piano A1A2A3 e il piano delle coordinate Oxy, utilizzando la formula cos(angolo) = |nOh| /(|n||Oxy|), dove Oxy è il versore giacente sull'asse Ox. Risultato: cos(angolo) = 2/3.

N. 2.17. Troviamo il vettore direzione del segmento M1M2: (-3, -1, 1). Il vettore normale del piano coinciderà con il vettore direzione del segmento, poiché il piano deve essere perpendicolare al segmento. L'equazione generale del piano è: -3x - y + z + 1 = 0.

N. 3.17. Il vettore direzione della linea dato dall'equazione vettoriale è uguale a (1, 1, 2). Questo vettore non è normale al piano x + 3y - 2z + 1 = 0, il che significa che la linea è parallela a questo piano. Per essere sicuri che la retta giaccia su questo piano, sostituiamo le sue coordinate nell'equazione del piano e otteniamo: (t+7) + 3(t-2) - 2(2t+1) + 1 = 0, che è equivalente a t = -1. Quando t = -1, le coordinate della linea coincidono con le coordinate di un punto che giace nel piano, il che significa che la linea giace su questo piano.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versione 17 è un compito sull'algebra lineare, che include diversi compiti sulla stesura di equazioni di linee e piani, sulla determinazione degli angoli tra linee e piani e anche sul controllo se una linea si trova in un dato piano.

N. 1.17. Dati quattro punti A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). È necessario creare equazioni: a) aereo A1A2A3; b) dritto A1A2; c) retta A4M, perpendicolare al piano A1A2A3; d) retta A3N parallela alla retta A1A2; e) un piano passante per il punto A4, perpendicolare alla retta A1A2; f) calcolare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3; g) calcolare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3.

N. 2.17. È necessario creare un'equazione per un piano passante per il punto M(1;–1;2) perpendicolare al segmento M1M2, dove M1(2;3;–4); M2(–1;2;–3).

N. 3.17. È necessario dimostrare che la retta è parallela al piano x + 3y – 2z + 1 = 0, e la retta x = t + 7; y = t – 2; z = 2t + 1 giace in questo piano.

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