Kepe O.E 收集的问题 9.5.4 的解决方案

9.5.4 半径为 r = 13 cm 的圆柱体 1 沿着半径为 R = 20 cm 的静止圆柱体 2 滚动，确定圆柱体 O 的中心到其瞬时速度中心的距离。 （答案0.13）

将两个圆柱体（一个半径为 13 厘米，另一个半径为 20 厘米）放在附近，较小的圆柱体开始在较大圆柱体的表面上滚动而不打滑。我们需要找到从较小圆柱体的中心到其瞬时速度中心的距离。

该问题的解决可以基于能量守恒定律，即圆柱体在运动过程中动能守恒。让我们假设瞬时速度中心距较小圆柱体中心的距离为 x。那么半径为r的圆柱体表面上一点的速度等于较小圆柱体中心的速度，半径为R的圆柱体表面上一点的速度为零。

利用能量守恒定律，我们可以写出：

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$$

其中$v$是较小圆柱体中心的速度，$m$是圆柱体的质量，$g$是重力加速度，$h$是较小圆柱体中心的高度。

由于圆柱体的动能守恒，因此当其向下运动时，其势能转化为动能。因此，初始时刻圆柱体的势能等于小圆柱体中心到达瞬时速度中心时的动能。

小圆柱中心的上升高度等于圆柱半径之差与小圆柱中心到瞬时速度中心的距离之差：

$$h = R - r + x$$

然后我们可以写：

$$\frac{1}{2}mv^2 = mg(R - r + x)$$

减少自由落体的质量和加速度，我们得到：

$$\frac{1}{2}v^2 ​​= g(R - r + x)$$

从这里我们找到从较小圆柱体的中心到瞬时速度中心的距离：

$$x = \frac{v^2}{2g} - (R - r)$$

将圆柱体的半径值和较小圆柱体的中心速度代入，我们得到：

$$x = \frac{(13\pi)^2}{2 \cdot 9.81} - (20 - 13) = 0.13\text{ см}$$

因此，从较小圆柱体的中心到其瞬时速度中心的距离是 0.13 厘米。

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