Kepe O.E 컬렉션의 문제 9.5.4 해결 방법

9.5.4 반경 r = 13 cm의 원통 1이 고정된 반경 R = 20 cm의 원통 2를 따라 굴러가고, 원통 O의 중심에서 순간 속도 중심까지의 거리를 결정합니다. (답변 0.13)

반경이 13cm인 원통과 반경이 20cm인 원통 두 개가 근처에 배치되어 있고 작은 원통이 큰 원통의 표면에서 미끄러지지 않고 굴리기 시작합니다. 우리는 더 작은 원통의 중심에서 순간 속도 중심까지의 거리를 찾아야 합니다.

문제에 대한 해결책은 에너지 보존 원리, 즉 실린더가 이동하는 동안 실린더의 운동 에너지가 보존된다는 사실에 기초할 수 있습니다. 순간 속도 중심이 더 작은 원통의 중심으로부터 거리 x에 있다고 가정해 보겠습니다. 그러면 반지름이 r인 원통 표면에 있는 한 점의 속도는 더 작은 원통의 중심 속도와 같고, 반지름이 R인 원통 표면에 있는 한 점의 속도는 0입니다.

에너지 보존 원리를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$$

여기서 $v$는 작은 원통 중심의 속도, $m$는 원통의 질량, $g$는 중력 가속도, $h$는 작은 원통 중심의 높이입니다.

실린더의 운동에너지는 보존되므로 실린더가 아래쪽으로 이동할 때 위치에너지가 운동에너지로 변환됩니다. 따라서 초기 시점의 실린더의 위치 에너지는 작은 실린더의 중심이 순간 속도 중심에 도달할 때의 운동 에너지와 같습니다.

작은 원통 중심의 상승 높이는 원통 반경과 작은 원통 중심에서 순간 속도 중심까지의 거리의 차이와 같습니다.

$$h = R - r + x$$

그런 다음 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$\frac{1}{2}mv^2 = mg(R - r + x)$$

자유낙하의 질량과 가속도를 줄이면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$$\frac{1}{2}v^2 = g(R - r + x)$$

여기에서 우리는 더 작은 원통의 중심에서 순간 속도 중심까지의 거리를 찾습니다.

$$x = \frac{v^2}{2g} - (R - r)$$

원통의 반경 값과 더 작은 원통의 중심 속도를 대입하면 다음을 얻습니다.

$$x = \frac{(13\pi)^2}{2 \cdot 9.81} - (20 - 13) = 0.13\text{ см}$$

따라서 작은 원통의 중심에서 순간 속도 중심까지의 거리는 0.13cm입니다.

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문제에 대한 해결책은 에너지 보존의 원리, 즉 실린더가 움직일 때 운동 에너지가 보존된다는 원리에 기초할 수 있습니다. 이 경우 순간 속도 중심은 작은 원통의 중심으로부터 거리 x만큼 떨어져 있습니다.

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