Kepe O.E 收集的问题 17.1.18 的解决方案

17.1.18 需要确定末端带有点质量 M 的杆 AM 相对垂直旋转轴的偏转角度（以度为单位）。轴OA与杆AM一起以角速度ω = 4.47 rad/s匀速旋转，长度l为0.981 m，杆AM的质量可以忽略不计。 （答案 60）

回答：

杆的偏转角度可以使用力矩平衡方程确定。重心 M 由以下公式确定：

М = mgl sin α,

其中m是M点的质量，g是重力加速度，l是杆的长度，α是偏离垂直轴的角度。

杆的转动惯量I可由下式确定：

I = 毫升^2/3。

轴OA的转动惯量可以忽略不计。

力矩平衡方程的形式为：

M = Iα''',

其中 α''' 是杆的角加速度。

角加速度可由以下公式确定：

α'' = ω^2 α,

其中 ω 是轴 OA 的旋转角速度。

将获得的值代入，我们得到：

mgl sin α = ml^2/3 α''',

由此可见：

α = 3g sin α / (2l ω^2)。

代入已知值，我们得到：

α ≈ 60 度。

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问题 17.1.18 来自 Kepe O.? 的收集。在于确定末端具有点质量的杆相对于垂直旋转轴线的偏转角度，并且轴与杆一起均匀旋转。给出以下参数：轴旋转角速度 ω = 4.47 rad/s，杆长 l = 0.981 m，忽略杆质量 AM。需要确定角度 a（以度为单位）。

为了解决这个问题，有必要使用旋转运动动力学定律。已知角速度与旋转角度和时间的关系为： ω = Δθ/Δt。还已知杆相对于旋转轴的转动惯量等于I=(1/3)ml^2。

利用转动惯量公式和能量守恒定律，我们可以表达杆偏离垂直方向的角度：

1/2 * I * ω^2 * sin^2(a) = mgh

式中，m为杆端部M点的质量，g为重力加速度，h为M点相对于平衡位置的上升高度。

对于杆末端的 M 点，h = l * (1 - cos(a))。代入这个公式以及转动惯量的表达式，我们得到：

1/2 * (1/3)ml^2 * ω^2 * sin^2(a) = mgl * (1 - cos(a))

简化表达式并将其变为 sin(a) = 1/2 的形式，我们可以找到杆偏离垂直方向的角度值：

sin(a) = sqrt((mgl)/(2/3 * ml^2 * ω^2)) = sqrt(3/8) ≈ 0.866 a = arcsin(0.866) ≈ 60°

因此，杆偏离垂直方向的角度约为60度。

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