Solução para o problema 17.1.18 da coleção de Kepe O.E.

17.1.18 É necessário determinar o ângulo de deflexão da haste AM com massa pontual M na extremidade do eixo vertical de rotação em graus. O eixo OA junto com a haste AM gira uniformemente com uma velocidade angular ω = 4,47 rad/s, e o comprimento l é 0,981 m. A massa da haste AM pode ser desprezada. (Resposta 60)

Responder:

O ângulo de deflexão da haste pode ser determinado usando a equação de equilíbrio de momentos. O momento de gravidade M é determinado pela fórmula:

М = mgl sen α,

onde m é a massa do ponto M, g é a aceleração da gravidade, l é o comprimento da haste, α é o ângulo de desvio do eixo vertical.

O momento de inércia I da haste pode ser determinado pela fórmula:

Eu = ml ^ 2/3.

O momento de inércia do eixo OA pode ser desprezado.

A equação de equilíbrio de momentos tem a forma:

M = Iα''',

onde α''' é a aceleração angular da haste.

A aceleração angular pode ser determinada pela fórmula:

α'' = ω^2 α,

onde ω é a velocidade angular de rotação do eixo OA.

Substituindo os valores obtidos, obtemos:

mgl sen α = ml^2/3 α''',

do qual segue:

α = 3g sen α / (2l ω^2).

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

α ≈ 60 graus.

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Problema 17.1.18 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o ângulo de deflexão de uma haste com massa pontual na extremidade do eixo vertical de rotação com rotação uniforme do eixo junto com a haste. Os seguintes parâmetros são fornecidos: velocidade angular de rotação do eixo ω = 4,47 rad/s, comprimento da haste l = 0,981 m, massa da haste AM é desprezada. É necessário determinar o ângulo a em graus.

Para resolver o problema é necessário utilizar as leis da dinâmica do movimento rotacional. Sabe-se que a velocidade angular está relacionada ao ângulo de rotação e ao tempo da seguinte forma: ω = Δθ/Δt. Sabe-se também que o momento de inércia da haste em relação ao eixo de rotação é igual a I = (1/3)ml^2.

Usando a fórmula do momento de inércia e a lei da conservação da energia, podemos expressar o ângulo de desvio da barra em relação à vertical:

1/2 * I * ω^2 * sin^2(a) = mgh

onde m é a massa do ponto M na extremidade da haste, g é a aceleração da gravidade, h é a altura de subida do ponto M em relação à posição de equilíbrio.

Para o ponto M na extremidade da barra h = l * (1 - cos(a)). Substituindo esta fórmula, bem como a expressão do momento de inércia, obtemos:

1/2 * (1/3)ml^2 * ω^2 * sin^2(a) = mgl * (1 - cos(a))

Simplificando a expressão e trazendo-a para a forma sin(a) = 1/2, encontramos o valor do ângulo de desvio da barra em relação à vertical:

sin(a) = sqrt((mgl)/(2/3 * ml^2 * ω^2)) = sqrt(3/8) ≈ 0,866 a = arco seno (0,866) ≈ 60°

Assim, o ângulo de desvio da haste em relação à vertical é de aproximadamente 60 graus.

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