Solución al problema 17.1.18 de la colección de Kepe O.E.

17.1.18 Es necesario determinar el ángulo de desviación de la varilla AM con una masa puntual M en el extremo del eje vertical de rotación en grados. El eje OA junto con la varilla AM gira uniformemente con una velocidad angular ω = 4,47 rad/s y la longitud l es 0,981 m. La masa de la varilla AM puede despreciarse. (Respuesta 60)

Respuesta:

El ángulo de deflexión de la varilla se puede determinar utilizando la ecuación de equilibrio de momentos. El momento de gravedad M está determinado por la fórmula:

М = mgl sen α,

donde m es la masa del punto M, g es la aceleración de la gravedad, l es la longitud de la varilla, α es el ángulo de desviación del eje vertical.

El momento de inercia I de la varilla se puede determinar mediante la fórmula:

Yo = ml^2/3.

El momento de inercia del eje OA puede despreciarse.

La ecuación de equilibrio de momentos tiene la forma:

M = Iα''',

donde α''' es la aceleración angular de la varilla.

La aceleración angular se puede determinar mediante la fórmula:

α'' = ω^2 α,

donde ω es la velocidad angular de rotación del eje OA.

Sustituyendo los valores obtenidos obtenemos:

mgl sin α = ml^2/3 α''',

de donde sigue:

α = 3g sen α / (2l ω^2).

Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:

α ≈ 60 grados.

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Problema 17.1.18 de la colección de Kepe O.?. Consiste en determinar el ángulo de desviación de una varilla con una masa puntual en el extremo del eje de rotación vertical con rotación uniforme del eje junto con la varilla. Se dan los siguientes parámetros: velocidad angular de rotación del eje ω = 4,47 rad/s, longitud de la varilla l = 0,981 m, masa de la varilla AM se desprecia. Se requiere determinar el ángulo a en grados.

Para resolver el problema es necesario utilizar las leyes de la dinámica del movimiento de rotación. Se sabe que la velocidad angular está relacionada con el ángulo de rotación y el tiempo de la siguiente manera: ω = Δθ/Δt. También se sabe que el momento de inercia de la varilla con respecto al eje de rotación es igual a I = (1/3)ml^2.

Usando la fórmula del momento de inercia y la ley de conservación de la energía, podemos expresar el ángulo de desviación de la varilla con respecto a la vertical:

1/2 * I * ω^2 * sen^2(a) = mgh

donde m es la masa del punto M en el extremo de la varilla, g es la aceleración de la gravedad, h es la altura de elevación del punto M con respecto a la posición de equilibrio.

Para el punto M al final de la varilla h = l * (1 - cos(a)). Sustituyendo esta fórmula, así como la expresión del momento de inercia, obtenemos:

1/2 * (1/3)ml^2 * ω^2 * sin^2(a) = mgl * (1 - cos(a))

Simplificando la expresión y llevándola a la forma sin(a) = 1/2, encontramos el valor del ángulo de desviación de la varilla con respecto a la vertical:

pecado(a) = raíz cuadrada ((mgl)/(2/3 * ml^2 * ω^2)) = raíz cuadrada (3/8) ≈ 0,866 a = arcosen(0.866) ≈ 60°

Por tanto, el ángulo de desviación de la varilla con respecto a la vertical es de aproximadamente 60 grados.

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