Kepe O.E. のコレクションからの問題 17.1.18 の解決策。

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17.1.18 端に点質量 M があるロッド AM の垂直回転軸からの偏向角度を度単位で決定する必要があります。シャフト OA はロッド AM とともに角速度 ω = 4.47 rad/s で等速回転し、長さ l は 0.981 m であり、ロッド AM の質量は無視できます。 (答え60)

答え：

ロッドのたわみ角はモーメントバランス式から求めることができます。重力モーメント M は次の式で求められます。

М = mgl sin α、

ここで、m は点 M の質量、g は重力加速度、l はロッドの長さ、α は垂直軸からの偏角です。

ロッドの慣性モーメント I は次の式で求められます。

I = ml^2/3。

シャフトＯＡの慣性モーメントは無視できる。

モーメントバランス方程式は次の形式になります。

M = Iα''、

ここで、α'''' はロッドの角加速度です。

角加速度は次の式で求められます。

α'' = ω^2 α、

ここで、ω はシャフト OA の回転角速度です。

取得した値を代入すると、次のようになります。

mgl sin α = ml^2/3 α'''、

以下から:

α = 3g sin α / (2l ω^2)。

既知の値を代入すると、次のようになります。

α ≈ 60 度。

Kepe O.? のコレクションからの問題 17.1.18 の解決策。

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料金: 50ルーブル

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Kepe O.? のコレクションからの問題 17.1.18。ロッドとともにシャフトを均一に回転させて、端に点質量を備えたロッドの垂直回転軸からのたわみ角度を決定することにあります。次のパラメータが与えられます: シャフト回転の角速度 ω = 4.47 rad/s、ロッドの長さ l = 0.981 m、ロッドの質量 AM は無視されます。角度 a を度単位で決定する必要があります。

この問題を解決するには、回転運動の力学の法則を使用する必要があります。角速度は回転角度と時間に次のように関係することが知られています: ω = Δθ/Δt。また、回転軸に対するロッドの慣性モーメントは I = (1/3)ml^2 に等しいことが知られています。

慣性モーメントの公式とエネルギー保存則を使用すると、垂直からのロッドの偏角を表すことができます。

1/2 * I * ω^2 * sin^2(a) = mgh

ここで、m はロッドの端にある点 M の質量、g は重力加速度、h は平衡位置に対する点 M の上昇の高さです。

ロッドの端にある点 M の場合、h = l * (1 - cos(a))。この式と慣性モーメントの式を代入すると、次のようになります。

1/2 * (1/3)ml^2 * ω^2 * sin^2(a) = mgl * (1 - cos(a))

式を単純化して sin(a) = 1/2 の形にすると、垂直からのロッドの偏角の値がわかります。

sin(a) = sqrt((mgl)/(2/3 * ml^2 * ω^2)) = sqrt(3/8) ≈ 0.866 a = arcsin(0.866) ≈ 60°

したがって、垂直からのロッドの偏角は約 60 度です。

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