Lösung für Aufgabe 17.1.18 aus der Sammlung von Kepe O.E.

17.1.18 Es ist notwendig, den Auslenkungswinkel des Stabes AM mit einer Punktmasse M am Ende von der vertikalen Drehachse in Grad zu bestimmen. Die Welle OA rotiert zusammen mit dem Stab AM gleichmäßig mit einer Winkelgeschwindigkeit ω = 4,47 rad/s und die Länge l beträgt 0,981 m. Die Masse des Stabes AM kann vernachlässigt werden. (Antwort 60)

Antwort:

Der Ablenkungswinkel des Stabes kann mithilfe der Momentengleichungsgleichung bestimmt werden. Das Schwerkraftmoment M wird durch die Formel bestimmt:

М = mgl sin α,

Dabei ist m die Masse des Punktes M, g die Erdbeschleunigung, l die Länge des Stabes und α der Abweichungswinkel von der vertikalen Achse.

Das Trägheitsmoment I des Stabes lässt sich nach folgender Formel ermitteln:

I = ml^2/3.

Das Trägheitsmoment der Welle OA kann vernachlässigt werden.

Die Momentengleichung hat die Form:

M = Iα''',

wobei α'''' die Winkelbeschleunigung des Stabes ist.

Die Winkelbeschleunigung lässt sich nach folgender Formel ermitteln:

α'' = ω^2 α,

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der Welle OA ist.

Wenn wir die erhaltenen Werte ersetzen, erhalten wir:

mgl sin α = ml^2/3 α''',

Daraus folgt:

α = 3g sin α / (2l ω^2).

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir:

α ≈ 60 Grad.

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Aufgabe 17.1.18 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, den Auslenkungswinkel eines Stabes mit einer Punktmasse am Ende von der vertikalen Drehachse bei gleichmäßiger Drehung der Welle zusammen mit dem Stab zu bestimmen. Folgende Parameter sind gegeben: Winkelgeschwindigkeit der Wellenrotation ω = 4,47 rad/s, Stablänge l = 0,981 m, Stabmasse AM wird vernachlässigt. Es ist erforderlich, den Winkel a in Grad zu bestimmen.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gesetze der Dynamik der Rotationsbewegung zu nutzen. Es ist bekannt, dass die Winkelgeschwindigkeit wie folgt mit dem Drehwinkel und der Zeit zusammenhängt: ω = Δθ/Δt. Es ist auch bekannt, dass das Trägheitsmoment der Stange relativ zur Rotationsachse gleich I = (1/3)ml^2 ist.

Mit der Formel für das Trägheitsmoment und dem Energieerhaltungssatz können wir den Abweichungswinkel des Stabes von der Vertikalen ausdrücken:

1/2 * I * ω^2 * sin^2(a) = mgh

Dabei ist m die Masse des Punktes M am Ende des Stabes, g die Erdbeschleunigung und h die Höhe des Punktes M relativ zur Gleichgewichtslage.

Für Punkt M am Ende des Stabes h = l * (1 - cos(a)). Wenn wir diese Formel sowie den Ausdruck für das Trägheitsmoment einsetzen, erhalten wir:

1/2 * (1/3)ml^2 * ω^2 * sin^2(a) = mgl * (1 - cos(a))

Wenn wir den Ausdruck vereinfachen und auf die Form sin(a) = 1/2 bringen, finden wir den Wert des Abweichungswinkels des Stabes von der Vertikalen:

sin(a) = sqrt((mgl)/(2/3 * ml^2 * ω^2)) = sqrt(3/8) ≈ 0,866 a = arcsin(0,866) ≈ 60°

Somit beträgt der Abweichungswinkel der Stange von der Vertikalen etwa 60 Grad.

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