Soluzione al problema 17.1.18 dalla collezione di Kepe O.E.

17.1.18 È necessario determinare l'angolo di deflessione dell'asta AM con un punto di massa M all'estremità dall'asse verticale di rotazione in gradi. L'albero OA insieme all'asta AM ruota uniformemente con una velocità angolare ω = 4,47 rad/s, e la lunghezza l è 0,981 m. La massa dell'asta AM può essere trascurata. (Risposta 60)

Risposta:

L'angolo di deflessione dell'asta può essere determinato utilizzando l'equazione del bilancio del momento. Il momento di gravità M è determinato dalla formula:

Ì = mgl sin α,

dove m è la massa del punto M, g è l'accelerazione di gravità, l è la lunghezza dell'asta, α è l'angolo di deviazione dall'asse verticale.

Il momento di inerzia I dell'asta può essere determinato dalla formula:

Io =ml^2/3.

Il momento di inerzia dell'albero OA può essere trascurato.

L’equazione del bilancio dei momenti ha la forma:

M = Iα''',

dove α''' è l'accelerazione angolare dell'asta.

L'accelerazione angolare può essere determinata dalla formula:

α'' = ω^2α,

dove ω è la velocità angolare di rotazione dell'albero OA.

Sostituendo i valori ottenuti, otteniamo:

mgl peccato α = ml^2/3 α''',

da cui segue:

α = 3g sin α / (2l ω^2).

Sostituendo i valori noti, otteniamo:

α ≈ 60 gradi.

Soluzione al problema 17.1.18 dalla collezione di Kepe O.?.

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Problema 17.1.18 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare l'angolo di deflessione di un'asta con una massa puntiforme all'estremità dall'asse di rotazione verticale con rotazione uniforme dell'albero insieme all'asta. Sono dati i seguenti parametri: velocità angolare di rotazione dell'albero ω = 4,47 rad/s, lunghezza dell'asta l = 0,981 m, la massa dell'asta AM viene trascurata. È necessario determinare l'angolo a in gradi.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare le leggi della dinamica del moto rotatorio. È noto che la velocità angolare è correlata all'angolo di rotazione e al tempo come segue: ω = Δθ/Δt. È inoltre noto che il momento d'inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione è pari a I = (1/3)ml^2.

Utilizzando la formula del momento d'inerzia e la legge di conservazione dell'energia, possiamo esprimere l'angolo di deviazione dell'asta dalla verticale:

1/2 * I * ω^2 * sin^2(a) = mgh

dove m è la massa del punto M all'estremità dell'asta, g è l'accelerazione di gravità, h è l'altezza del punto M rispetto alla posizione di equilibrio.

Per il punto M all'estremità dell'asta h = l * (1 - cos(a)). Sostituendo questa formula, così come l'espressione del momento di inerzia, otteniamo:

1/2 * (1/3)ml^2 * ω^2 * sin^2(a) = mgl * (1 - cos(a))

Semplificando l'espressione e portandola nella forma sin(a) = 1/2, troviamo il valore dell'angolo di deviazione dell'asta dalla verticale:

sin(a) = sqrt((mgl)/(2/3 * ml^2 * ω^2)) = sqrt(3/8) ≈ 0,866 a = arcoseno(0,866) ≈ 60°

Pertanto, l'angolo di deviazione dell'asta dalla verticale è di circa 60 gradi.

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