IDZ Ryabushko 4.1 选项 9

1号。绘制椭圆、双曲线和抛物线的规范方程。 a) 对于具有焦点 F、长半轴 a、短半轴 b 和偏心率 ε 的椭圆，规范方程的形式为： ((x - x_F)²/a²) + ((y - y_F)²/ b²) = 1 其中 (x_F, y_F) - 焦点 F 的坐标。

b) 对于焦点为 F₁ 和 F2、长半轴 a、短半轴 b 和偏心率 ε 的双曲线，规范方程的形式为： ((x - x_F₁)²/a²) - ((y - y_F₁) 2/b2) = 1 或 - ((x - x_F2)2/a2) + ((y - y_F2)2/b2) = 1 其中 (x_F₁, y_F₁) 和 (x_F2, y_F2) 是焦点 F₁ 的坐标和 F2。

c) 对于焦点为 F 且参数为 p 的抛物线，规范方程的形式为：y² = 4px 或 x² = 4py，具体取决于抛物线相对于坐标轴的方向。

给定： a) A(0;√3); B(√14/3;1);长半轴 a = √14/3;短半轴 b = √11/3;偏心率ε=√3/√14； F 的焦点在 y 轴上，坐标为 (0,√8/3)。那么椭圆的正则方程将具有以下形式： ((x - 0)²/(√14/3)²) + ((y - √8/3)²/(√11/3)²) = 1

b) 双曲线 4x² - 5y² = 80 的焦点在 x 轴上，坐标为（±√20.0）；圆心 A(0,-4)。考虑一条双曲线，其焦点为 F₁(√20.0) 和 F2(-√20.0)、长半轴 a 和短半轴 b。根据双曲线方程 4x² - 5y² = 80，可以得出 a² = 20/4 = 5，b² = 80/5 = 16。双曲线的中心位于点 (0,0)。这意味着双曲线的正则方程的形式为： ((x - 0)²/5²) - ((y - 0)²/4²) = 1 要找到所需圆的方程，您需要找到双曲线与通过焦点F₁和点A的直线的交点。该点的坐标是（12/5，-12/5）。圆的半径等于圆心到该点的距离，即√((12/5)² + (-12/5 + 4)²) = 4/5√13。那么圆的方程的形式为： (x - 0)² + (y + 4)² = (4/5√13)²

c) 求满足条件的直线方程。 M 点到直线 y = 7 的距离等于 M 点到 A(4,-3) 点距离的 5 倍。我们将从点 M 到直线的距离表示为 d，从点 M 到点 A 的距离表示为 d₁。那么条件可以写成： d = 5d₁ 利用点到线的距离公式，我们得到： |y - 7| = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²) 我们将其分为两种情况：

1. y - 7 = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²)
2. y - 7 = -5√((x - 4)² + (-3 - y)²)

4号。构造极坐标系中指定的曲线：ρ = 4·sin 3φ。请注意，该曲线关于 x 轴对称，因此仅针对 φε[0,π/2] 绘制它就足够了。我们首先在区间 [0,π/2] 上绘制函数 y = 4·sin 3x。为此，您可以绘制函数 y = sin x，然后将其乘以 4，并沿 x 轴压缩 3 倍。然后，对于 x 的每个值，我们求出从原点到图形上坐标为 (x, 4·sin 3x) 的点的距离，该距离等于 ρ。我们用获得的坐标绘制点，并用平滑的曲线将它们连接起来。

5号。构造参数化指定的曲线：x = sin t, y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π)。要构造一条曲线，可以以一定的步长在区间[0,2π]内设置参数t的值，例如t = 0, π/8, π/4, 3π/8, .. ., 2π。对于t的每个值，我们找到相应的x和y，并用坐标(x,y)标记平面上的点。然后我们用一条平滑的曲线连接所有的点。所得曲线称为以原点为圆心的单位半径圆。

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例如，任务可能包括编写椭圆、双曲线和抛物线的规范方程，在极坐标系和参数化指定的曲线中构造曲线。

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1. 为经过给定点并具有给定参数（长半轴、短半轴、偏心率、焦点等）的椭圆、双曲线和抛物线编写规范方程。

2. 求通过给定点并具有给定圆心的圆的方程。

3. 求一条直线的方程，该直线的每个点与给定点的距离为给定点的距离，并且距给定直线的距离为给定点的 5 倍。

4. 通过方程 ρ = 4·sin 3φ 构建一条在极坐标中给出的曲线。

5. 构建由参数方程 (0 ≤ t ≤ 2π) 给出的曲线。

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