IDZ Ryabushko 4.1 Option 9

Nr. 1. Aufstellen kanonischer Gleichungen für Ellipse, Hyperbel und Parabel. a) Für eine Ellipse mit Brennpunkt F und großer Halbachse a, kleiner Halbachse b und Exzentrizität ε hat die kanonische Gleichung die Form: ((x - x_F)²/a²) + ((y - y_F)²/ b²) = 1 wobei (x_F, y_F) – Koordinaten des Fokus F.

b) Für eine Hyperbel mit Brennpunkten F₁ und F₂, großer Halbachse a, kleiner Halbachse b und Exzentrizität ε hat die kanonische Gleichung die Form: ((x - x_F₁)²/a²) - ((y - y_F₁) ²/b²) = 1 oder - ((x - x_F₂)²/a²) + ((y - y_F₂)²/b²) = 1 wobei (x_F₁, y_F₁) und (x_F₂, y_F₂) die Koordinaten der Brennpunkte F₁ sind und F₂.

c) Für eine Parabel mit Fokus F und Parameter p hat die kanonische Gleichung die Form: y² = 4px oder x² = 4py, abhängig von der Ausrichtung der Parabel relativ zu den Koordinatenachsen.

Gegeben: a) A(0;√3); B(√14/3;1); Haupthalbachse a = √14/3; kleine Halbachse b = √11/3; Exzentrizität ε = √3/√14; Der Fokus von F liegt auf der y-Achse und hat die Koordinaten (0,√8/3). Dann hat die kanonische Gleichung der Ellipse die Form: ((x - 0)²/(√14/3)²) + ((y - √8/3)²/(√11/3)²) = 1

b) Die Brennpunkte der Hyperbel 4x² - 5y² = 80 liegen auf der x-Achse und haben Koordinaten (±√20,0); Mittelpunkt des Kreises A(0,-4). Betrachten Sie eine Hyperbel mit den Brennpunkten F₁(√20,0) und F₂(-√20,0), der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b. Aus der Gleichung der Hyperbel 4x² - 5y² = 80 folgt a² = 20/4 = 5, b² = 80/5 = 16. Der Mittelpunkt der Hyperbel liegt im Punkt (0,0). Das bedeutet, dass die kanonische Gleichung der Hyperbel die Form hat: ((x - 0)²/5²) - ((y - 0)²/4²) = 1 Um die Gleichung des gewünschten Kreises zu finden, müssen Sie die finden Schnittpunkt der Hyperbel und der Linie, die durch den Fokus F₁ und Punkt A verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes sind (12/5, -12/5). Der Radius des Kreises ist gleich dem Abstand vom Mittelpunkt zu diesem Punkt, also √((12/5)² + (-12/5 + 4)²) = 4/5√13. Dann hat die Kreisgleichung die Form: (x - 0)² + (y + 4)² = (4/5√13)²

c) Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die die Bedingung erfüllt. Der Abstand vom Punkt M zur Geraden y = 7 ist gleich dem Fünffachen des Abstands vom Punkt M zum Punkt A(4,-3). Bezeichnen wir den Abstand vom Punkt M zur Geraden als d und den Abstand vom Punkt M zum Punkt A als d₁. Dann kann die Bedingung wie folgt geschrieben werden: d = 5d₁ Mit der Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Linie erhalten wir: |y - 7| = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²) Wir unterteilen es in zwei Fälle:

1. y - 7 = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²)
2. y - 7 = -5√((x - 4)² + (-3 - y)²)

Nummer 4. Konstruktion einer im Polarkoordinatensystem angegebenen Kurve: ρ = 4·sin 3φ. Beachten Sie, dass die Kurve symmetrisch zur x-Achse ist, sodass es ausreicht, sie nur für φ∈[0,π/2] zu zeichnen. Wir beginnen damit, die Funktion y = 4·sin 3x auf dem Intervall [0,π/2] darzustellen. Dazu können Sie die Funktion y = sin x zeichnen, sie dann mit 4 multiplizieren und entlang der x-Achse dreimal komprimieren. Dann ermitteln wir für jeden Wert von x den Abstand vom Ursprung zum Punkt im Diagramm mit den Koordinaten (x, 4·sin 3x), der gleich ρ ist. Wir zeichnen Punkte mit den erhaltenen Koordinaten und verbinden sie mit einer glatten Kurve.

Nr. 5. Konstruktion einer parametrisch spezifizierten Kurve: x = sin t, y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π). Um eine Kurve zu konstruieren, können Sie die Werte des Parameters t im Intervall [0,2π] mit einem bestimmten Schritt einstellen, zum Beispiel t = 0, π/8, π/4, 3π/8, .. ., 2π. Für jeden Wert von t ermitteln wir das entsprechende x und y und markieren einen Punkt auf der Ebene mit den Koordinaten (x,y). Dann verbinden wir alle Punkte mit einer glatten Kurve. Die resultierende Kurve wird Kreis mit Einheitsradius genannt, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt.

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Zu den Aufgaben gehören beispielsweise das Aufstellen kanonischer Gleichungen für Ellipse, Hyperbel und Parabel, das Konstruieren von Kurven im Polarkoordinatensystem und parametrisch spezifizierten Kurven.

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IDZ Ryabushko 4.1 Option 9 ist eine Reihe von Problemen in der Mathematik, die die Lösung der folgenden Probleme umfasst:

1. Stellen Sie kanonische Gleichungen für eine Ellipse, Hyperbel und Parabel auf, die durch bestimmte Punkte verlaufen und bestimmte Parameter haben (große und kleine Halbachsen, Exzentrizität, Brennpunkte usw.).

2. Finden Sie die Gleichung eines Kreises, der durch die gegebenen Punkte verläuft und einen gegebenen Mittelpunkt hat.

3. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, deren jeder Punkt einen bestimmten Abstand von einem gegebenen Punkt und einen fünfmal größeren Abstand von der gegebenen Geraden hat.

4. Konstruieren Sie eine Kurve in Polarkoordinaten durch die Gleichung ρ = 4·sin 3φ.

5. Konstruieren Sie eine durch parametrische Gleichungen gegebene Kurve (0 ≤ t ≤ 2π).

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