IDZ Ryabushko 4.1 Opção 9

Nº 1. Elaboração de equações canônicas para elipse, hipérbole e parábola. a) Para uma elipse com foco F e semieixo maior a, semieixo menor b e excentricidade ε, a equação canônica tem a forma: ((x - x_F)²/a²) + ((y - y_F)²/ b²) = 1 onde (x_F, y_F) - coordenadas do foco F.

b) Para uma hipérbole com focos F₁ e F₂, semieixo maior a, semieixo menor b e excentricidade ε, a equação canônica tem a forma: ((x - x_F₁)²/a²) - ((y - y_F₁) ²/b²) = 1 ou - ((x - x_F₂)²/a²) + ((y - y_F₂)²/b²) = 1 onde (x_F₁, y_F₁) e (x_F₂, y_F₂) são as coordenadas dos focos F₁ e F₂.

c) Para uma parábola com foco F e parâmetro p, a equação canônica tem a forma: y² = 4px ou x² = 4py dependendo da orientação da parábola em relação aos eixos coordenados.

Dado: a) A(0;√3); B(√14/3;1); semieixo maior a = √14/3; semi-eixo menor b = √11/3; excentricidade ε = √3/√14; o foco de F está no eixo y e tem coordenadas (0,√8/3). Então a equação canônica da elipse terá a forma: ((x - 0)²/(√14/3)²) + ((y - √8/3)²/(√11/3)²) = 1

b) Os focos da hipérbole 4x² - 5y² = 80 estão no eixo x e possuem coordenadas (±√20,0); centro do círculo A(0,-4). Considere uma hipérbole com focos F₁(√20.0) e F₂(-√20.0), semieixo maior a e semieixo menor b. Da equação da hipérbole 4x² - 5y² = 80 segue-se que a² = 20/4 = 5, b² = 80/5 = 16. O centro da hipérbole está no ponto (0,0). Isso significa que a equação canônica da hipérbole tem a forma: ((x - 0)²/5²) - ((y - 0)²/4²) = 1 Para encontrar a equação do círculo desejado, você precisa encontrar o ponto de intersecção da hipérbole e da reta que passa pelo foco F₁ e pelo ponto A. As coordenadas deste ponto são (12/5, -12/5). O raio do círculo é igual à distância do centro até este ponto, ou seja, √((12/5)² + (-12/5 + 4)²) = 4/5√13. Então a equação do círculo tem a forma: (x - 0)² + (y + 4)² = (4/5√13)²

c) Encontre a equação de uma linha reta que satisfaça a condição. A distância do ponto M à linha reta y = 7 é igual a 5 vezes a distância do ponto M ao ponto A(4,-3). Vamos denotar a distância do ponto M à linha como d, e a distância do ponto M ao ponto A como d₁. Então a condição pode ser escrita da seguinte forma: d = 5d₁ Usando a fórmula para a distância de um ponto a uma reta, obtemos: |y - 7| = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²) Dividimos em dois casos:

1. y - 7 = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²)
2. y - 7 = -5√((x - 4)² + (-3 - y)²)

Nº 4. Construção de uma curva especificada no sistema de coordenadas polares: ρ = 4·sin 3φ. Observe que a curva é simétrica em relação ao eixo x, então basta desenhá-la apenas para φ∈[0,π/2]. Começamos traçando a função y = 4·sin 3x no intervalo [0,π/2]. Para fazer isso, você pode representar graficamente a função y = sin x, depois multiplicá-la por 4 e comprimi-la ao longo do eixo x em 3 vezes. Então, para cada valor de x, encontramos a distância da origem ao ponto do gráfico com coordenadas (x, 4·sin 3x), que é igual a ρ. Desenhamos pontos com as coordenadas obtidas e os conectamos com uma curva suave.

Número 5. Construção de uma curva especificada parametricamente: x = sin t, y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π). Para construir uma curva, você pode definir os valores do parâmetro t no intervalo [0,2π] com um determinado passo, por exemplo, t = 0, π/8, π/4, 3π/8, .. ., 2π. Para cada valor de t, encontramos os correspondentes xey e marcamos um ponto no plano com coordenadas (x,y). Então conectamos todos os pontos com uma curva suave. A curva resultante é chamada de círculo de raio unitário com centro na origem.

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1. Componha equações canônicas para uma elipse, hipérbole e parábola passando por determinados pontos e tendo determinados parâmetros (semi-eixos maiores e menores, excentricidade, focos, etc.).

2. Encontre a equação de um círculo que passa pelos pontos dados e tem um determinado centro.

3. Encontre a equação de uma reta, cada ponto da qual está a uma determinada distância de um determinado ponto e a uma distância 5 vezes maior da reta dada.

4. Construa uma curva dada em coordenadas polares pela equação ρ = 4·sin 3φ.

5. Construa uma curva dada por equações paramétricas (0 ≤ t ≤ 2π).

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