IDZ Ryabushko 4.1 Opción 9

N° 1. Elaboración de ecuaciones canónicas para la elipse, hipérbola y parábola. a) Para una elipse con foco F y semieje mayor a, semieje menor b y excentricidad ε, la ecuación canónica tiene la forma: ((x - x_F)²/a²) + ((y - y_F)²/ b²) = 1 donde (x_F, y_F) - coordenadas del foco F.

b) Para una hipérbola con focos F₁ y F₂, semieje mayor a, semieje menor b y excentricidad ε, la ecuación canónica tiene la forma: ((x - x_F₁)²/a²) - ((y - y_F₁) ²/b²) = 1 o - ((x - x_F₂)²/a²) + ((y - y_F₂)²/b²) = 1 donde (x_F₁, y_F₁) y (x_F₂, y_F₂) son las coordenadas de los focos F₁ y F₂.

c) Para una parábola con foco F y parámetro p, la ecuación canónica tiene la forma: y² = 4px o x² = 4py dependiendo de la orientación de la parábola con respecto a los ejes de coordenadas.

Dado: a) A(0;√3); B(√14/3;1); semieje mayor a = √14/3; semieje menor b = √11/3; excentricidad ε = √3/√14; el foco de F está en el eje y y tiene coordenadas (0,√8/3). Entonces la ecuación canónica de la elipse tendrá la forma: ((x - 0)²/(√14/3)²) + ((y - √8/3)²/(√11/3)²) = 1

b) Los focos de la hipérbola 4x² - 5y² = 80 están en el eje x y tienen coordenadas (±√20.0); centro del círculo A(0,-4). Considere una hipérbola con focos F₁(√20.0) y F₂(-√20.0), semieje mayor a y semieje menor b. De la ecuación de la hipérbola 4x² - 5y² = 80 se deduce que a² = 20/4 = 5, b² = 80/5 = 16. El centro de la hipérbola está en el punto (0,0). Esto significa que la ecuación canónica de la hipérbola tiene la forma: ((x - 0)²/5²) - ((y - 0)²/4²) = 1 Para encontrar la ecuación del círculo deseado, necesitas encontrar el punto de intersección de la hipérbola y la recta que pasa por el foco F₁ y el punto A. Las coordenadas de este punto son (12/5, -12/5). El radio del círculo es igual a la distancia desde el centro hasta este punto, es decir, √((12/5)² + (-12/5 + 4)²) = 4/5√13. Entonces la ecuación del círculo tiene la forma: (x - 0)² + (y + 4)² = (4/5√13)²

c) Encuentra la ecuación de una recta que satisface la condición. La distancia del punto M a la recta y = 7 es igual a 5 veces la distancia del punto M al punto A(4,-3). Denotaremos la distancia desde el punto M a la recta como d, y la distancia desde el punto M al punto A como d₁. Entonces la condición se puede escribir de la siguiente manera: d = 5d₁ Usando la fórmula para la distancia de un punto a una recta, obtenemos: |y - 7| = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²) Lo dividimos en dos casos:

1. y - 7 = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²)
2. y - 7 = -5√((x - 4)² + (-3 - y)²)

No. 4. Construcción de una curva especificada en el sistema de coordenadas polares: ρ = 4·sen 3φ. Tenga en cuenta que la curva es simétrica con respecto al eje x, por lo que basta con dibujarla solo para φ∈[0,π/2]. Comenzamos trazando la función y = 4·sen 3x en el intervalo [0,π/2]. Para hacer esto, puedes trazar la función y = sen x, luego multiplicarla por 4 y comprimirla a lo largo del eje x 3 veces. Luego, para cada valor de x, encontramos la distancia desde el origen al punto de la gráfica con coordenadas (x, 4·sen 3x), que es igual a ρ. Dibujamos puntos con las coordenadas obtenidas y los conectamos con una curva suave.

Numero 5. Construcción de una curva especificada paramétricamente: x = sin t, y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π). Para construir una curva, puede establecer los valores del parámetro t en el intervalo [0,2π] con un cierto paso, por ejemplo, t = 0, π/8, π/4, 3π/8, .. ., 2π. Para cada valor de t, encontramos las x e y correspondientes, y marcamos un punto en el plano con coordenadas (x,y). Luego conectamos todos los puntos con una curva suave. La curva resultante se llama círculo de radio unitario con centro en el origen.

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1. Redactar ecuaciones canónicas para una elipse, hipérbola y parábola que pasan por puntos dados y tienen parámetros dados (semiejes mayores y menores, excentricidad, focos, etc.).

2. Encuentre la ecuación de un círculo que pasa por los puntos dados y tiene un centro dado.

3. Encuentre la ecuación de una recta, cada punto de la cual está a una distancia dada de un punto dado y a una distancia 5 veces mayor de la recta dada.

4. Construya una curva dada en coordenadas polares por la ecuación ρ = 4·sen 3φ.

5. Construya una curva dada por ecuaciones paramétricas (0 ≤ t ≤ 2π).

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