IDZ Ryabushko 4.1 Opzione 9

N. 1. Elaborazione delle equazioni canoniche dell'ellisse, dell'iperbole e della parabola. a) Per un'ellisse con fuoco F e semiasse maggiore a, semiasse minore b ed eccentricità ε, l'equazione canonica ha la forma: ((x - x_F)²/a²) + ((y - y_F)²/ b²) = 1 dove (x_F, y_F) - coordinate del fuoco F.

b) Per un'iperbole con fuochi F₁ e F₂, semiasse maggiore a, semiasse minore b ed eccentricità ε, l'equazione canonica ha la forma: ((x - x_F₁)²/a²) - ((y - y_F₁) ²/b²) = 1 oppure - ((x - x_F₂)²/a²) + ((y - y_F₂)²/b²) = 1 dove (x_F₁, y_F₁) e (x_F₂, y_F₂) sono le coordinate dei fuochi F₁ e F₂.

c) Per una parabola con fuoco F e parametro p, l'equazione canonica ha la forma: y² = 4px oppure x² = 4py a seconda dell'orientamento della parabola rispetto agli assi coordinati.

Dati: a) A(0;√3); B(√14/3;1); semiasse maggiore a = √14/3; semiasse minore b = √11/3; eccentricità ε = √3/√14; il fuoco di F è sull'asse y e ha coordinate (0,√8/3). Allora l'equazione canonica dell'ellisse avrà la forma: ((x - 0)²/(√14/3)²) + ((y - √8/3)²/(√11/3)²) = 1

b) I fuochi dell'iperbole 4x² - 5y² = 80 sono sull'asse x e hanno coordinate (±√20.0); centro del cerchio A(0,-4). Consideriamo un'iperbole con fuochi F₁(√20.0) e F₂(-√20.0), semiasse maggiore a e semiasse minore b. Dall'equazione dell'iperbole 4x² - 5y² = 80 segue che a² = 20/4 = 5, b² = 80/5 = 16. Il centro dell'iperbole è nel punto (0,0). Ciò significa che l'equazione canonica dell'iperbole ha la forma: ((x - 0)²/5²) - ((y - 0)²/4²) = 1 Per trovare l'equazione della circonferenza desiderata, è necessario trovare l'equazione punto di intersezione dell'iperbole e della retta passante per il fuoco F₁ e il punto A. Le coordinate di questo punto sono (12/5, -12/5). Il raggio del cerchio è uguale alla distanza dal centro a questo punto, cioè √((12/5)² + (-12/5 + 4)²) = 4/5√13. Allora l'equazione del cerchio ha la forma: (x - 0)² + (y + 4)² = (4/5√13)²

c) Trovare l'equazione di una retta che soddisfa la condizione. La distanza dal punto M alla retta y = 7 è pari a 5 volte la distanza dal punto M al punto A(4,-3). Indichiamo la distanza dal punto M alla linea come d, e la distanza dal punto M al punto A come d₁. Allora la condizione può essere scritta come segue: d = 5d₁ Utilizzando la formula per la distanza da un punto ad una retta, otteniamo: |y - 7| = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²) Lo dividiamo in due casi:

1. y - 7 = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²)
2. y - 7 = -5√((x - 4)² + (-3 - y)²)

N. 4. Costruzione di una curva specificata nel sistema di coordinate polari: ρ ​​= 4·sen 3φ. Si noti che la curva è simmetrica rispetto all'asse x, quindi è sufficiente disegnarla solo per φ∈[0,π/2]. Iniziamo tracciando la funzione y = 4·sen 3x sull'intervallo [0,π/2]. Per fare ciò, puoi tracciare la funzione y = sin x, quindi moltiplicarla per 4 e comprimerla lungo l'asse x per 3 volte. Quindi, per ogni valore di x, troviamo la distanza dall'origine al punto del grafico con coordinate (x, 4·sin 3x), che è uguale a ρ. Disegniamo punti con le coordinate ottenute e li colleghiamo con una curva morbida.

N. 5. Costruzione di una curva specificata parametricamente: x = sin t, y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π). Per costruire una curva, è possibile impostare i valori del parametro t nell'intervallo [0,2π] con un certo passo, ad esempio t = 0, π/8, π/4, 3π/8, .. ., 2π. Per ogni valore di t, troviamo i corrispondenti xey e segniamo un punto sul piano con le coordinate (x,y). Quindi colleghiamo tutti i punti con una curva morbida. La curva risultante si chiama circonferenza di raggio unitario con centro nell'origine.

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1. Comporre le equazioni canoniche dell'ellisse, dell'iperbole e della parabola passanti per determinati punti e aventi determinati parametri (semiassi maggiori e minori, eccentricità, fuochi, ecc.).

2. Trovare l'equazione della circonferenza passante per i punti dati e avente un centro dato.

3. Trova l'equazione di una linea, ciascun punto della quale si trova a una data distanza da un dato punto e a una distanza 5 volte maggiore dalla linea data.

4. Costruisci una curva data in coordinate polari dall'equazione ρ = 4·sen 3φ.

5. Costruisci una curva data da equazioni parametriche (0 ≤ t ≤ 2π).

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