IDZ Ryabushko 4.1 Option 9

N°1. Élaboration d'équations canoniques pour l'ellipse, l'hyperbole et la parabole. a) Pour une ellipse de foyer F et de demi-grand axe a, de demi-petit axe b et d'excentricité ε, l'équation canonique a la forme : ((x - x_F)²/a²) + ((y - y_F)²/ b²) = 1 où (x_F, y_F) - coordonnées du foyer F.

b) Pour une hyperbole de foyers F₁ et F₂, de demi-grand axe a, de demi-petit axe b et d'excentricité ε, l'équation canonique a la forme : ((x - x_F₁)²/a²) - ((y - y_F₁) ²/b²) = 1 ou - ((x - x_F₂)²/a²) + ((y - y_F₂)²/b²) = 1 où (x_F₁, y_F₁) et (x_F₂, y_F₂) sont les coordonnées des foyers F₁ et F₂.

c) Pour une parabole de foyer F et de paramètre p, l'équation canonique a la forme : y² = 4px ou x² = 4py selon l'orientation de la parabole par rapport aux axes de coordonnées.

Étant donné : a) A(0;√3); B(√14/3;1); demi-grand axe a = √14/3 ; axe semi-mineur b = √11/3 ; excentricité ε = √3/√14 ; le foyer de F est sur l'axe y et a des coordonnées (0,√8/3). Alors l'équation canonique de l'ellipse aura la forme : ((x - 0)²/(√14/3)²) + ((y - √8/3)²/(√11/3)²) = 1

b) Les foyers de l'hyperbole 4x² - 5y² = 80 sont sur l'axe des x et ont des coordonnées (±√20,0) ; centre du cercle A(0,-4). Considérons une hyperbole avec des foyers F₁(√20,0) et F₂(-√20,0), un demi-grand axe a et un demi-petit axe b. De l'équation de l'hyperbole 4x² - 5y² = 80 il s'ensuit que a² = 20/4 = 5, b² = 80/5 = 16. Le centre de l'hyperbole est au point (0,0). Cela signifie que l'équation canonique de l'hyperbole a la forme : ((x - 0)²/5²) - ((y - 0)²/4²) = 1 Pour trouver l'équation du cercle souhaité, vous devez trouver le point d'intersection de l'hyperbole et de la droite passant par le foyer F₁ et le point A. Les coordonnées de ce point sont (12/5, -12/5). Le rayon du cercle est égal à la distance du centre à ce point, soit √((12/5)² + (-12/5 + 4)²) = 4/5√13. Alors l'équation du cercle a la forme : (x - 0)² + (y + 4)² = (4/5√13)²

c) Trouver l'équation d'une droite qui satisfait la condition. La distance du point M à la droite y = 7 est égale à 5 fois la distance du point M au point A(4,-3). Notons la distance du point M à la ligne par d, et la distance du point M au point A par d₁. Alors la condition peut s'écrire comme suit : d = 5d₁ En utilisant la formule de la distance d'un point à une ligne, on obtient : |y - 7| = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²) On le divise en deux cas :

1. y - 7 = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²)
2. y - 7 = -5√((x - 4)² + (-3 - y)²)

Numéro 4. Construction d'une courbe spécifiée dans le système de coordonnées polaires : ρ = 4·sin 3φ. Notez que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des x, il suffit donc de la dessiner uniquement pour φ∈[0,π/2]. On commence par tracer la fonction y = 4·sin 3x sur l'intervalle [0,π/2]. Pour ce faire, vous pouvez tracer la fonction y = sin x, puis la multiplier par 4 et la compresser le long de l'axe x par 3 fois. Ensuite, pour chaque valeur de x, on trouve la distance de l'origine au point du graphique de coordonnées (x, 4·sin 3x), qui est égale à ρ. Nous dessinons des points avec les coordonnées obtenues et les connectons avec une courbe lisse.

N ° 5. Construction d'une courbe spécifiée paramétriquement : x = sin t, y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π). Pour construire une courbe, vous pouvez définir les valeurs du paramètre t dans l'intervalle [0,2π] avec un certain pas, par exemple, t = 0, π/8, π/4, 3π/8, .. ., 2π. Pour chaque valeur de t, nous trouvons les x et y correspondants et marquons un point sur le plan avec les coordonnées (x, y). Ensuite, nous connectons tous les points avec une courbe lisse. La courbe résultante est appelée un cercle de rayon unité dont le centre est l’origine.

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IDZ Ryabushko 4.1 Option 9 est un ensemble de problèmes de mathématiques, qui comprend la résolution des problèmes suivants :

1. Composer des équations canoniques pour une ellipse, une hyperbole et une parabole passant par des points donnés et ayant des paramètres donnés (demi-axes majeurs et mineurs, excentricité, foyers, etc.).

2. Trouver l'équation d'un cercle passant par les points donnés et ayant un centre donné.

3. Trouver l'équation d'une droite dont chaque point est à une distance donnée d'un point donné et à une distance 5 fois plus grande de la droite donnée.

4. Construisez une courbe donnée en coordonnées polaires par l'équation ρ = 4·sin 3φ.

5. Construire une courbe donnée par des équations paramétriques (0 ≤ t ≤ 2π).

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