IDZ リャブシュコ 4.1 オプション 9

1番。楕円、双曲線、放物線の正準方程式を作成します。 a) 焦点 F、長半径 a、短半径 b、離心率 ε を持つ楕円の場合、正準方程式は次の形式になります: ((x - x_F)²/a²) + ((y - y_F)²/ b²) = 1 ここで、(x_F, y_F) - 焦点 F の座標。

b) 焦点 F₁ と F₂、長半径 a、短半径 b、離心率 ε を持つ双曲線の場合、正準方程式は次の形式になります: ((x - x_F₁)²/a²) - ((y - y_F₁) ²/b²) = 1 または - ((x - x_F₂)²/a²) + ((y - y_F₂)²/b²) = 1 ここで、(x_F₁, y_F₁) および (x_F₂, y_F₂) は焦点 F₁ の座標です。そしてF₂。

c) 焦点 F とパラメーター p を持つ放物線の場合、正準方程式は、座標軸に対する放物線の向きに応じて、y² = 4px または x² = 4py の形式になります。

与えられた条件: a) A(0;√3); B(√14/3;1);長半径 a = √14/3;準短軸 b = √11/3;離心率ε = √3/√14; F の焦点は y 軸上にあり、座標は (0,√8/3) です。この場合、楕円の正準方程式は次の形式になります: ((x - 0)²/(√14/3)²) + ((y - √8/3)²/(√11/3)²) = 1

b) 双曲線 4x² - 5y² = 80 の焦点は x 軸上にあり、座標 (±√20.0) を持ちます。円の中心 A(0,-4)。焦点 F₁(√20.0) と F₂(-√20.0)、長半径 a、短半径 b を持つ双曲線を考えます。双曲線 4x² - 5y² = 80 の方程式から、a² = 20/4 = 5、b² = 80/5 = 16 となります。双曲線の中心は点 (0,0) にあります。これは、双曲線の正準方程式が次の形式を持つことを意味します: ((x - 0)²/5²) - ((y - 0)²/4²) = 1 目的の円の方程式を見つけるには、次の式を見つける必要があります。双曲線と、焦点 F1 および点 A を通る直線との交点。この点の座標は (12/5, -12/5) です。円の半径は中心からこの点までの距離に等しくなります。つまり、√((12/5)² + (-12/5 + 4)²) = 4/5√13 となります。この場合、円の方程式は次の形式になります: (x - 0)² + (y + 4)² = (4/5√13)²

c) 条件を満たす直線の方程式を求めます。点 M から直線 y = 7 までの距離は、点 M から点 A(4,-3) までの距離の 5 倍に等しくなります。点 M から直線までの距離を d、点 M から点 A までの距離を d1 とします。この場合、条件は次のように書くことができます: d = 5d₁ 点から線までの距離の公式を使用すると、次の結果が得られます: |y - 7| = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²) これを 2 つの場合に分けます。

1. y - 7 = 5√((x - 4)² + (-3 - y)²)
2. y - 7 = -5√((x - 4)² + (-3 - y)²)

4番。極座標系で指定された曲線の構築: ρ = 4・sin 3φ。この曲線は x 軸に関して対称であるため、φ∈[0,π/2] についてのみ描画すれば十分であることに注意してください。まず、関数 y = 4・sin 3x を区間 [0,π/2] にプロットします。これを行うには、関数 y = sin x をプロットし、それを 4 倍して、x 軸に沿って 3 倍圧縮します。次に、x の各値について、原点からグラフ上の座標 (x, 4・sin 3x) の点までの距離を求めます。これは ρ に等しいです。得られた座標で点を描き、それらを滑らかな曲線で結びます。

5番。パラメトリックに指定された曲線の構築: x = sin t、y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π)。曲線を構築するには、パラメータ t の値を [0,2π] の間隔で特定のステップで設定できます。たとえば、t = 0、π/8、π/4、3π/8、.. 、２π。 t の各値について、対応する x と y を見つけ、座標 (x,y) で平面上の点をマークします。次に、すべての点を滑らかな曲線で接続します。結果として得られる曲線は、原点を中心とする単位半径の円と呼ばれます。

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たとえば、タスクには、楕円、双曲線、および放物線の正準方程式の作成、極座標系およびパラメトリックに指定された曲線の構築が含まれる場合があります。

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IDZ Ryabushko 4.1 オプション 9 は、次の問題の解決を含む数学の問題セットです。

1. 指定された点を通過し、指定されたパラメーター (長半軸、短半軸、離心率、焦点など) を持つ楕円、双曲線、放物線の正準方程式を作成します。

2. 指定された点を通り、指定された中心を持つ円の方程式を求めます。

3. 各点が指定された点から指定された距離にあり、指定された直線から 5 倍の距離にある直線の方程式を求めます。

4. 方程式 ρ = 4・sin 3φ によって極座標で与えられる曲線を作成します。

5. パラメトリック方程式 (0 ≤ t ≤ 2π) で与えられる曲線を作成します。

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