IDZ Ryabushko 3.2 选项 3

No. 1 对于给定的三角形 ΔABC，其顶点为 A(1;7)； B(–3,–1);需要找到 C(11;–3)：

a) AB 边方程。为此，您需要使用以下公式计算穿过两个给定点的直线方程的系数：y = kx + b。其中 k 是直线的斜率，b 是直线的 y 截距（即 x = 0 时 y 的值）。由此可得AB边方程的系数为：

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 7) / (-3 - 1) = -2 b = y1 - k * x1 = 7 - (-2) * 1 = 9

因此，AB 边的方程为 y = -2x + 9。

b) CH 高度方程。高度CH穿过顶点C并垂直于边AB。第一步是找到与通过点 C 的 AB 边平行的直线的方程。这可以使用使用斜率系数的公式来完成，斜率系数等于 -2（如我们在步骤 a) 中计算的那样）：

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

因此，平行于边 AB 并经过点 C 的直线方程为 y = -2x + 19。

然后，要找到高度 CH 的方程，您需要找到垂直于 AB 边并经过点 C 的直线方程。这样的直线必须具有 1/2 的斜率系数（因为斜率的乘积）垂直线的系数必须等于-1)。高度 CH 与边 AB 的交点可以作为这两条直线方程的交点找到：

y = -2x + 9 y = (1/2)x - 13/2

求解这个方程组，我们得到交点的坐标：N(5/2; 2)。

B) 中值 AM 方程。中线 AM 是通过顶点 A 和边 BC 的中点的线。首先你需要找到太阳侧面中间的坐标：

x = (x2 + x3) / 2 = (-3 + 11) / 2 = 4 y = (y2 + y3) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

因此，BC边的中间坐标为(4；-2)。

然后，利用穿过两个给定点的直线方程的公式，我们可以找到中值AM的方程：

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 7) / (4 - 1) = -3/1 b = y1 - k* x1 = 7 - (-3/1) * 1 = 10

因此，中值 AM 的方程为 y = -3x + 10。

d) 我们已经找到了b)点中线M和高度CH的交点N——这就是点N(5/2; 2)。

e) 穿过顶点 C 并平行于边 AB 的直线方程。为此，您需要使用我们在 a) 点以及 C 点中找到的相同斜率系数：

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

因此，穿过顶点 C 并平行于边 AB 的直线方程为 y = -2x + 19。

e) 点 C 到直线 AB 的距离。点到线的距离可以使用以下公式计算：d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2)，其中a、b和c是一般形式(ax + by + c = 0)的直线方程的系数，x和y是点的坐标。

对于我们在a)点找到的AB边方程，系数为：a = -2，b = 1和c = -9。

点 C 的坐标为 (11;-3)。

因此，点C到直线AB的距离为：

d = |-211 + 1(-3) - 9| / sqrt((-2)^2 + 1^2) = 5sqrt(5)。

No. 2 给定三角形 ABC 的两个顶点：A(–4;4)； B(4;–12) 和点 M(4;2)，这是高度的交点。需要求出顶点C的坐标。

首先，您需要找到三角形 ABC 的三个高的方程，它们相交于点 M。

通过顶点 A 的高度将垂直于边 BC 并通过点 A (-4; 4)。所以它的等式将是：

x = -4

通过顶点 B 的高度将垂直于边 AC 并通过点 B (4, -12)。所以它的等式将是：

y = -3x - 12

通过顶点 C 的高度将垂直于边 AB 并通过点 C(x, y)。所以它的等式将是：

y = 2x + k

其中k是高度与y轴相交时的y值（即x = 0时的y值）。

要找到顶点 C 的坐标，您需要找到所有三个高度的交点。为此，您需要求解方程组：

x = -4 y = -3x - 12 y = 2x + k

将第一个方程代入第二个方程，我们发现 y = 0。将这个 y 值代入第三个方程，我们发现 k = 0。因此，通过顶点的高度方程

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为了找到顶点C的坐标，需要找到所有三个高度的交点。为此，您需要求解描述三个高度的方程组，并将点 M(4;2) 的坐标代入每个方程。 通过顶点 A 的高度具有等式 x = -4。 通过顶点 B 的高度的方程为 y = -3x - 12。 通过顶点 C 的高度具有方程 y = 2x + k。

由于点 M(4;2) 位于所有三个高度，因此其坐标满足每个方程： 4 = -4（对于穿过顶点 A 的高度） 2 = -3 * 4 - 12 = -24（对于通过顶点 B 的高度） 2 = 2 * 4 + k, k = -6（对于穿过顶点C的高度）

因此，穿过顶点 C 的高度方程的形式为 y = 2x - 6。为了找到顶点 C 的坐标，需要找到该高度与直线 AB 的交点。为此，我们求解方程组： y = 2x - 6（穿过顶点 C 的高度方程） y = -3x + b（AB 线方程）

我们将一个方程代入另一个方程并求出 x 的值： 2x - 6 = -3x + b 5x = b + 6 x = (b + 6) / 5

由于该点位于直线 AB 上，因此其坐标满足直线方程： y = -3x + b

我们替换找到的 x 值并找到 y 值： y = -3 * (b + 6) / 5 + b = -3b / 5 - 18 / 5

因此，顶点 C 的坐标等于： x = (b + 6) / 5 y = -3b / 5 - 18 / 5

已知点 C 位于直线 AB 上，即可求出 b 的值。为此，您需要找到直线 AB 的斜率系数，并将其中一个顶点（例如点 A）的坐标和找到的系数代入直线方程： k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-12 - 4) / (4 - (-4)) = -2/3 y = -2/3x + b（AB 线方程） 4 = -2/3 * (-4) + b b = -8/3

因此，顶点 C 的坐标等于： x = (b + 6) / 5 = (-8/3 + 6) / 5 = -2/15 y = -3b / 5 - 18 / 5 = 8/3 - 18/5 = -2/15

答案：顶点C的坐标为(-2/15；-2/15)。

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IDZ Ryabushko 3.2 选项 3 是一项数学任务，包括两个任务：

1. 求由顶点定义的三角形 ΔABC 的各种参数： a) 方程AB边； b) 从顶点C到边AB降低的高度CH方程； c) 从顶点A到边BC的中点绘制的中值AM方程； d) 中线AM与高度CH的交点N； e) 通过顶点C并平行于边AB的直线方程； f) 点 C 到线 AB 的距离。

2. 如果三角形 ΔABC 的两个顶点的坐标 A(-4;4)、B(4;-12) 与三角形高的交点 M(4;2)，则求三角形 ΔABC 的第三个顶点的坐标) 是已知的。

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